реши номер 11 и 14

Краткий ответ:

11) другой катет — \(\boxed{35\text{ см}}\).

14) катеты — \(\boxed{8\text{ см и }15\text{ см}}\).

№ 11

Точка \(O\) равноудалена от всех вершин, значит, это центр описанной окружности. Для прямоугольного треугольника гипотенуза является диаметром описанной окружности:

\[ AB=2R=2\cdot18{,}5=37\text{ см}. \]

По теореме Пифагора:

\[ x^2+12^2=37^2, \]

\[ x^2=37^2-12^2=1369-144=1225, \]

\[ x=\sqrt{1225}=35\text{ см}. \]

Проверка:

\[ 12^2+35^2=144+1225=1369=37^2. \]

№ 14

Пусть катеты равны \(a\) и \(b\), а гипотенуза \(c=17\) см. Для прямоугольного треугольника:

\[ r=\frac{a+b-c}{2}. \]

Подставим \(r=3\):

\[ 3=\frac{a+b-17}{2}, \]

\[ a+b=23. \]

Также по теореме Пифагора:

\[ a^2+b^2=17^2=289. \]

Найдём произведение катетов:

\[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2, \]

\[ 23^2=289+2ab, \]

\[ 529=289+2ab, \]

\[ ab=120. \]

Катеты являются корнями уравнения:

\[ t^2-23t+120=0. \]

Разложим на множители:

\[ (t-8)(t-15)=0. \]

Следовательно,

\[ \boxed{a=8\text{ см},\quad b=15\text{ см}}. \]

Проверка:

\[ 8^2+15^2=64+225=289=17^2, \]

\[ \frac{8+15-17}{2}=3\text{ см}. \]