как решать задачи с дробями и со скоростью

Коротко:

• В задачах с дробями сначала определи, что означает дробь: часть целого, найденная часть или весь предмет.
• В задачах на скорость используй три формулы: \[ v=\frac{s}{t},\qquad s=v\cdot t,\qquad t=\frac{s}{v}, \] где \(v\) — скорость, \(s\) — путь, \(t\) — время.

1. Основные действия с дробями

Сложение и вычитание

Если знаменатели одинаковые, складываем или вычитаем числители:

\[ \frac{3}{7}+\frac{2}{7}=\frac{5}{7}. \]

Если знаменатели разные, сначала приводим дроби к общему знаменателю:

\[ \frac{2}{3}+\frac{1}{4} =\frac{8}{12}+\frac{3}{12} =\frac{11}{12}. \]

Умножение

Числители перемножаем, знаменатели тоже:

\[ \frac{2}{5}\cdot\frac{3}{4} =\frac{6}{20} =\frac{3}{10}. \]

Найти дробь от числа — значит умножить число на эту дробь:

\[ \frac{3}{5}\text{ от }40: \qquad 40\cdot\frac{3}{5}=24. \]

Ответ: \(24\).

Деление

При делении на дробь умножаем на обратную дробь:

\[ \frac{3}{4}:\frac{2}{5} =\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{2} =\frac{15}{8} =1\frac{7}{8}. \]

Как найти целое по его части

Если \(\frac{3}{5}\) числа равны \(24\), то всё число:

\[ 24:\frac{3}{5} =24\cdot\frac{5}{3} =40. \]

Проверка:

\[ 40\cdot\frac{3}{5}=24. \]

2. Задачи на скорость

Запомни треугольник:

\[ \begin{array}{c} s\\ v\quad t \end{array} \]

• закрыли \(v\): \(\displaystyle v=\frac{s}{t}\);
• закрыли \(s\): \(\displaystyle s=v\cdot t\);
• закрыли \(t\): \(\displaystyle t=\frac{s}{v}\).

Пример 1. Найти скорость

Велосипедист проехал \(48\) км за \(3\) часа.

\[ v=\frac{s}{t}=\frac{48}{3}=16\text{ км/ч}. \]

Ответ: \(16\text{ км/ч}\).

Проверка:

\[ 16\cdot3=48\text{ км}. \]

Пример 2. Найти путь

Автомобиль ехал со скоростью \(60\text{ км/ч}\) в течение \(2\) часов.

\[ s=v\cdot t=60\cdot2=120\text{ км}. \]

Ответ: \(120\) км.

Пример 3. Найти время

Пешеход прошёл \(12\) км со скоростью \(4\text{ км/ч}\).

\[ t=\frac{s}{v}=\frac{12}{4}=3\text{ ч}. \]

Ответ: \(3\) часа.

3. Важное правило об единицах

Единицы должны быть одинаковыми:

• если скорость в км/ч, путь — в километрах, время — в часах;
• если скорость в м/с, путь — в метрах, время — в секундах.

Полезные переводы:

\[ 1\text{ ч}=60\text{ мин},\qquad 1\text{ мин}=60\text{ с}. \]

Например:

\[ 30\text{ мин}=\frac{30}{60}\text{ ч}=\frac12\text{ ч}. \]

Если автомобиль ехал \(72\text{ км/ч}\) в течение \(\frac12\) часа:

\[ s=72\cdot\frac12=36\text{ км}. \]

4. Алгоритм решения текстовой задачи

1. Внимательно прочитай условие.
2. Выпиши известные величины и неизвестную.
3. Приведи единицы измерения к одинаковым.
4. Выбери нужную формулу.
5. Выполни вычисления.
6. Запиши ответ с единицами.
7. Проверь результат обратным действием или формулой.

Если движутся два объекта

• навстречу друг другу: \[ v_{\text{сбл}}=v_1+v_2; \]

• в одном направлении: \[ v_{\text{сбл}}=v_1-v_2. \]

Затем время находят по формуле:

\[ t=\frac{s}{v_{\text{сбл}}}. \]

Главное: дробь показывает часть или отношение, а скорость связывает путь и время.