76

Краткий ответ:

1. \[ 4<6x+14y<\frac{13}{2}; \]

2. \[ -2<28y-12x<3; \]

3. \[ \frac{2}{7}<\frac{y}{x}<\frac34. \]

Решение.

Дано: \[ \frac13<x<\frac12,\qquad \frac17<y<\frac14. \]

1. В выражении \(6x+14y\) коэффициенты положительные, поэтому берём нижние границы для нижней оценки и верхние — для верхней: \[ 6\cdot\frac13+14\cdot\frac17<6x+14y< 6\cdot\frac12+14\cdot\frac14. \] \[ 2+2<6x+14y<3+\frac72, \] \[ \boxed{4<6x+14y<\frac{13}{2}}. \]

2. В выражении \(28y-12x\) при увеличении \(y\) значение увеличивается, а при увеличении \(x\) — уменьшается: \[ 28\cdot\frac17-12\cdot\frac12<28y-12x< 28\cdot\frac14-12\cdot\frac13. \] \[ 4-6<28y-12x<7-4, \] \[ \boxed{-2<28y-12x<3}. \]

3. Все числа положительны. Чтобы получить меньшую границу дроби, берём наименьший числитель и наибольший знаменатель; для большей границы — наоборот: \[ \frac{\frac17}{\frac12}<\frac yx< \frac{\frac14}{\frac13}. \] \[ \boxed{\frac27<\frac yx<\frac34}. \]

Правило: при оценке суммы учитывают знаки коэффициентов, а для дроби с положительными числителем и знаменателем используют монотонность дроби.