Номер 61(4) и 62

Краткий ответ:

• 61(4): \(2{,}7\).
• 62:
  1. \(a^{\frac56}\);
  2. \(b\);
  3. \(b^{\frac16}\);
  4. \(a\);
  5. \(x^2\);
  6. \(y^{-\frac{173}{30}}\).

Основные правила

\[ \sqrt[n]{x^m}=x^{\frac mn},\qquad x^p\cdot x^q=x^{p+q},\qquad x^p:x^q=x^{p-q}. \]

61(4)

\[ \sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[4]{a}\cdot\sqrt[12]{a^5} = a^{\frac13}\cdot a^{\frac14}\cdot a^{\frac5{12}}. \]

При умножении степеней показатели складываются:

\[ a^{\frac13+\frac14+\frac5{12}} = a^{\frac4{12}+\frac3{12}+\frac5{12}} = a^{\frac{12}{12}} =a. \]

Так как \(a=2{,}7\), получаем:

\[ \boxed{2{,}7}. \]

Проверка: сумма показателей равна \(1\), поэтому всё выражение действительно равно \(a\).

62

1. \[ a^{\frac13}\cdot\sqrt a = a^{\frac13}\cdot a^{\frac12} = a^{\frac13+\frac12} = \boxed{a^{\frac56}}. \]

2. \[ b^{\frac12}\cdot b^{\frac13}\cdot\sqrt[6]{b} = b^{\frac12+\frac13+\frac16} = b^{\frac3{6}+\frac2{6}+\frac1{6}} = b^1=\boxed b. \]

3. \[ \sqrt[3]{b}:b^{\frac16} = b^{\frac13-\frac16} = \boxed{b^{\frac16}}. \]

4. \[ a^{\frac43}:\sqrt[3]{a} = a^{\frac43-\frac13} = a^1=\boxed a. \]

5. \[ x^{1{,}7}\cdot x^{2{,}8}:\sqrt{x^5} = x^{1{,}7+2{,}8-\frac52}. \]

Так как \(1{,}7+2{,}8=4{,}5\), то

\[ x^{4{,}5-2{,}5}= \boxed{x^2}. \]

6. \[ y^{-3{,}8}\cdot y^{-2{,}3}\cdot\sqrt[3]{y} = y^{-3{,}8-2{,}3+\frac13}. \]

Представим десятичные дроби обыкновенными:

\[ -3{,}8-\!2{,}3+\frac13 = -\frac{19}{5}-\frac{23}{10}+\frac13 = -\frac{114}{30}-\frac{69}{30}+\frac{10}{30} = -\frac{173}{30}. \]

Следовательно,

\[ \boxed{y^{-\frac{173}{30}}}. \]