Реши задание на изображении
Краткий ответ
Сократить дробь:
а) \(\displaystyle \frac{2x-1}{3x+2}\), \(x\ne 3,\;x\ne-\frac23\);
б) \(\displaystyle \frac{x+5}{x-3}\), \(x\ne-\frac12,\;x\ne3\).\(\boxed{x=\pm3}\).
Решения:
а) \(\boxed{x=2}\);
б) \(\boxed{x=2;\;5}\).
Решение
1а)
Разложим числитель и знаменатель на множители:
\[ 2x^2-7x+3=(2x-1)(x-3), \]
\[ 3x^2-7x-6=(3x+2)(x-3). \]
Тогда
\[ \frac{2x^2-7x+3}{3x^2-7x-6} = \frac{(2x-1)(x-3)}{(3x+2)(x-3)} = \frac{2x-1}{3x+2}. \]
Ограничения берём из исходной дроби:
\[ (3x+2)(x-3)\ne0, \]
поэтому
\[ x\ne-\frac23,\qquad x\ne3. \]
1б)
\[ 2x^2+11x+5=(2x+1)(x+5), \]
\[ 2x^2-5x-3=(2x+1)(x-3). \]
Следовательно,
\[ \frac{2x^2+11x+5}{2x^2-5x-3} = \frac{(2x+1)(x+5)}{(2x+1)(x-3)} = \frac{x+5}{x-3}. \]
Ограничения:
\[ x\ne-\frac12,\qquad x\ne3. \]
2. Биквадратное уравнение
\[ x^4-4x^2-45=0. \]
Положим
\[ t=x^2. \]
Тогда получаем квадратное уравнение:
\[ t^2-4t-45=0. \]
Разложим на множители:
\[ (t-9)(t+5)=0. \]
Отсюда
\[ t=9 \quad\text{или}\quad t=-5. \]
Так как \(t=x^2\ge0\), значение \(t=-5\) не подходит. Поэтому
\[ x^2=9, \]
\[ \boxed{x=3\text{ или }x=-3}. \]
Проверка:
\[ 3^4-4\cdot3^2-45=81-36-45=0. \]
3а)
\[ \frac{x^2+2x}{x+4}=\frac8{x+4}. \]
Сначала запишем ОДЗ:
\[ x+4\ne0,\qquad x\ne-4. \]
Умножаем обе части на \(x+4\):
\[ x^2+2x=8. \]
Переносим всё в левую часть:
\[ x^2+2x-8=0. \]
Разложим:
\[ (x+4)(x-2)=0. \]
Получаем \(x=-4\) или \(x=2\). Значение \(x=-4\) исключается по ОДЗ.
\[ \boxed{x=2}. \]
3б)
\[ \frac{10}{x}=7-x. \]
ОДЗ:
\[ x\ne0. \]
Умножаем на \(x\):
\[ 10=7x-x^2. \]
Переносим всё в одну сторону:
\[ x^2-7x+10=0. \]
Разложим на множители:
\[ (x-5)(x-2)=0. \]
Следовательно,
\[ \boxed{x=5\text{ или }x=2}. \]
Оба значения допустимы, так как не равны нулю.
