№51

Краткий ответ: ошибка допущена в неравенстве 4. Правильно: \[ 7\sqrt{11}-6\sqrt{12}>0. \]

Чтобы сравнить положительные корни, можно сравнить их квадраты:

1. \[ (3\sqrt2)^2=18,\qquad (\sqrt7)^2=7, \] поэтому \(3\sqrt2-\sqrt7>0\) — верно.

2. \[ (4\sqrt7)^2=112,\qquad (9\sqrt2)^2=162, \] поэтому \(4\sqrt7-9\sqrt2<0\) — верно.

3. \[ (6\sqrt3)^2=108,\qquad (3\sqrt6)^2=54, \] поэтому \(6\sqrt3-3\sqrt6>0\) — верно.

4. \[ (7\sqrt{11})^2=539,\qquad (6\sqrt{12})^2=432. \] Так как \(539>432\), то \[ 7\sqrt{11}>6\sqrt{12}, \] следовательно, \[ 7\sqrt{11}-6\sqrt{12}>0. \]