Задача синус а равен 1/4 найдите косинус а тангенс а и котангенс а

Краткий ответ:

\[ \cos\alpha=\pm\frac{\sqrt{15}}{4},\qquad \tan\alpha=\pm\frac{\sqrt{15}}{15},\qquad \cot\alpha=\pm\sqrt{15}. \]

Знаки должны быть одинаковыми. Если \(\alpha\) — острый угол, то все значения положительные.

Решение:

Используем основное тригонометрическое тождество:

\[ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1. \]

Так как \(\sin\alpha=\frac14\), получаем:

\[ \cos^2\alpha=1-\left(\frac14\right)^2 =1-\frac1{16} =\frac{15}{16}. \]

Следовательно,

\[ \cos\alpha=\pm\sqrt{\frac{15}{16}} =\pm\frac{\sqrt{15}}4. \]

Теперь найдём тангенс:

\[ \tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} =\frac{\frac14}{\pm\frac{\sqrt{15}}4} =\pm\frac1{\sqrt{15}} =\pm\frac{\sqrt{15}}{15}. \]

Котангенс:

\[ \cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} =\frac{\pm\frac{\sqrt{15}}4}{\frac14} =\pm\sqrt{15}. \]

Проверка:

\[ \tan\alpha\cdot\cot\alpha =\frac{\sqrt{15}}{15}\cdot\sqrt{15}=1. \]

Если угол находится в I четверти, берём знак «\( + \)», а во II четверти — знак «\( - \)».