Ответ на уравнения
Краткий ответ:
- а) \(x=-1;\ 23\)
- б) \(x=2;\ \dfrac73\)
- в) \(x=-5;\ 2\)
- г) \(x=-4;\ \dfrac12\)
Решение
Во всех уравнениях умножаем обе части на общий знаменатель, а затем решаем полученное квадратное уравнение.
а)
\[
\frac{x^2-1}{2}-11x=11
\]
Умножим на \(2\):
\[ x^2-1-22x=22 \]
\[ x^2-22x-23=0 \]
Разложим на множители:
\[ (x-23)(x+1)=0 \]
\[ \boxed{x=23 \text{ или } x=-1} \]
Проверка: при \(x=23\) и \(x=-1\) левая часть равна \(11\).
б)
\[
\frac{x^2+x}{2}=\frac{8x-7}{3}
\]
Умножим на \(6\):
\[ 3x^2+3x=16x-14 \]
\[ 3x^2-13x+14=0 \]
\[ (x-2)(3x-7)=0 \]
\[ \boxed{x=2 \text{ или } x=\frac73} \]
в)
\[
x-3=\frac{1-x^2}{3}
\]
Умножим на \(3\):
\[ 3x-9=1-x^2 \]
\[ x^2+3x-10=0 \]
\[ (x+5)(x-2)=0 \]
\[ \boxed{x=-5 \text{ или } x=2} \]
г)
\[
\frac{2-x^2}{7}=\frac{x}{2}
\]
Умножим на \(14\):
\[ 2(2-x^2)=7x \]
\[ 4-2x^2=7x \]
\[ 2x^2+7x-4=0 \]
\[ (2x-1)(x+4)=0 \]
\[ \boxed{x=\frac12 \text{ или } x=-4} \]
Подстановка найденных корней в исходные уравнения подтверждает, что все решения верны.
Обсуждение
2 сообщенияЧерез дискриминант
Решим все уравнения через дискриминант.
Формула:
\[ D=b^2-4ac,\qquad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a} \]
а)
После преобразований:
\[ x^2-22x-23=0 \]
\[ a=1,\quad b=-22,\quad c=-23 \]
\[ D=(-22)^2-4\cdot1\cdot(-23)=484+92=576 \]
\[ \sqrt D=24 \]
\[ x_1=\frac{22+24}{2}=23,\qquad x_2=\frac{22-24}{2}=-1 \]
\[ \boxed{x=23;\ -1} \]
б)
\[ 3x^2-13x+14=0 \]
\[ a=3,\quad b=-13,\quad c=14 \]
\[ D=(-13)^2-4\cdot3\cdot14=169-168=1 \]
\[ \sqrt D=1 \]
\[ x_1=\frac{13+1}{6}=\frac73,\qquad x_2=\frac{13-1}{6}=2 \]
\[ \boxed{x=\frac73;\ 2} \]
в)
\[ x^2+3x-10=0 \]
\[ a=1,\quad b=3,\quad c=-10 \]
\[ D=3^2-4\cdot1\cdot(-10)=9+40=49 \]
\[ \sqrt D=7 \]
\[ x_1=\frac{-3+7}{2}=2,\qquad x_2=\frac{-3-7}{2}=-5 \]
\[ \boxed{x=2;\ -5} \]
г)
\[ 2x^2+7x-4=0 \]
\[ a=2,\quad b=7,\quad c=-4 \]
\[ D=7^2-4\cdot2\cdot(-4)=49+32=81 \]
\[ \sqrt D=9 \]
\[ x_1=\frac{-7+9}{4}=\frac12,\qquad x_2=\frac{-7-9}{4}=-4 \]
\[ \boxed{x=\frac12;\ -4} \]
