Как решаются корни?

Кратко: квадратный корень \(\sqrt a\) — это неотрицательное число, квадрат которого равен \(a\).

1. Как находить квадратный корень

Ищем число, которое при умножении само на себя даёт подкоренное число:

\[ \sqrt{49}=7,\qquad потому\ что\ 7^2=49. \]

Полезно помнить:

\[ 1^2=1,\ 2^2=4,\ 3^2=9,\ 4^2=16,\ 5^2=25,\ 6^2=36,\ 7^2=49. \]

Если число не является точным квадратом, выносим множитель из-под корня:

\[ \sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt2. \]

Важно:

\[ \sqrt{49}=7, \]

а не \(\pm7\). Знак \(\pm\) появляется при решении уравнения.

2. Как решать уравнения с квадратом

Если

\[ x^2=a, \]

то:

• при \(a>0\): \(\displaystyle x=\pm\sqrt a\);
• при \(a=0\): \(x=0\);
• при \(a<0\): действительных корней нет.

Например:

\[ x^2=36 \]

\[ x=\pm\sqrt{36}=\pm6. \]

Проверка:

\[ 6^2=36,\qquad (-6)^2=36. \]

3. Уравнения с корнем

Пример:

\[ \sqrt{x+1}=3. \]

Возводим обе части в квадрат:

\[ x+1=9, \]

\[ x=8. \]

Проверка:

\[ \sqrt{8+1}=\sqrt9=3. \]

Ещё два важных правила:

\[ \sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b, \]

\[ \sqrt{x^2}=|x|. \]

Последнее правило важно: \(\sqrt{x^2}\) равно именно \(|x|\), потому что квадратный корень всегда неотрицателен.