Реши 2,4,6 двумя способами

Краткий ответ:

\[ \boxed{2)\;1,(55)=\frac{14}{9}},\qquad \boxed{4)\;-0,(8)=-\frac89},\qquad \boxed{6)\;-2,3(82)=-\frac{2359}{990}}. \]

Способ 1. По правилу периодической дроби

2) \(1,(55)\)

В периоде две цифры, поэтому в знаменателе записываем \(99\):

\[ 1,(55)=1+\frac{55}{99} =1+\frac59 =\frac{14}{9}. \]

4) \(-0,(8)\)

В периоде одна цифра, поэтому знаменатель равен \(9\):

\[ -0,(8)=-\frac89. \]

6) \(-2,3(82)\)

После запятой одна непериодическая цифра, а в периоде две цифры:

\[ -2,3(82) =-\frac{2382-23}{1000-10}. \]

Здесь \(2382\) — число до окончания первого периода, а \(23\) — число без периода.

\[ -\frac{2382-23}{990} =-\frac{2359}{990}. \]

Способ 2. Составим уравнение

2) \(1,(55)\)

Пусть

\[ x=1,5555\ldots \]

Умножим на \(100\), так как в периоде две цифры:

\[ 100x=155,5555\ldots \]

Вычтем исходное равенство:

\[ 100x-x=155,5555\ldots-1,5555\ldots \]

\[ 99x=154, \qquad x=\frac{154}{99}=\frac{14}{9}. \]

4) \(-0,(8)\)

Пусть

\[ x=-0,8888\ldots \]

Умножим на \(10\):

\[ 10x=-8,8888\ldots \]

Вычтем исходное равенство:

\[ 10x-x=-8, \]

\[ 9x=-8, \qquad x=-\frac89. \]

6) \(-2,3(82)\)

Пусть

\[ x=-2,38282828\ldots \]

Сначала умножим на \(10\), чтобы убрать непериодическую цифру:

\[ 10x=-23,8282828\ldots \]

Затем умножим исходное число на \(1000\):

\[ 1000x=-2382,8282828\ldots \]

Вычтем:

\[ 1000x-10x=-2382,8282828\ldots- (-23,8282828\ldots), \]

\[ 990x=-2359, \qquad x=-\frac{2359}{990}. \]

Проверка

\[ \frac{14}{9}=1,5555\ldots, \qquad -\frac89=-0,8888\ldots, \]

\[ -\frac{2359}{990}=-2,3828282\ldots \]

Ответы получены верно.