Перескажи

Кратко: системы счисления — это способы записи чисел с помощью знаков и определённых правил. Исторически люди прошли путь от счёта черточками до удобных позиционных систем, например десятичной.

Пересказ

Система счисления состоит из знаков и правил записи чисел. Знаки, которыми записывают числа, называются цифрами, а их совокупность — алфавитом системы счисления.

В каждой системе есть узловые числа, обозначаемые отдельными знаками. Остальные числа получают из них с помощью различных действий, например сложения или вычитания.

Выделяют три основных вида систем счисления:

1. Унарная система.
   Число записывается повторением одного и того же знака. Например, четыре предмета можно обозначить четырьмя черточками: ||||. Такая система была у древних людей и используется сейчас в счётных палочках. Её недостаток — большие числа записываются очень длинно.

2. Непозиционная система.
   Значение знака не зависит от его места в записи числа. Например, в египетской системе существовали специальные знаки для чисел \(1\), \(10\), \(100\), \(1000\) и других. Остальные числа получали сложением этих знаков, а порядок их расположения не имел значения.

   Примером непозиционной системы является римская система счисления. В ней используются знаки:

   \[ I=1,\quad V=5,\quad X=10,\quad L=50,\quad C=100,\quad D=500,\quad M=1000. \]

   Если меньший знак стоит перед большим, его значение вычитается:

   \[ IX=10-1=9. \]

   Если меньший знак стоит после большего, его значение прибавляется:

   \[ XI=10+1=11. \]

   Поэтому

   \[ XCIX=100-10+10-1=99. \]

3. Позиционная система.
   Значение цифры зависит от её положения в записи числа. Например, цифра \(5\) в числе \(50\) означает пять десятков, а в числе \(500\) — пять сотен. Такие системы удобны тем, что позволяют выполнять арифметические действия и записывать любые числа с помощью небольшого количества цифр.

В древности существовали также алфавитные системы счисления, в которых числа обозначались буквами. Например, в Древней Греции первые буквы алфавита обозначали единицы, следующие — десятки, а другие — сотни. У славянских народов тоже была буквенная система счисления. Над буквами ставили специальный знак — титло, показывая, что буква имеет числовое значение. Славянская нумерация использовалась на Руси до конца XVII века, а при Петре I её заменила привычная арабская нумерация.

Главная мысль

• в унарной системе один знак повторяется много раз;
• в непозиционной системе значение знака не меняется от его места;
• в позиционной системе значение цифры определяется её местом в числе.

Проверка: в записи \(352\) цифра \(5\) означает \(50\), потому что находится в разряде десятков. Это пример позиционной системы.