Краткий ответ: \(\boxed{k=0}\).
Решим уравнение: \[ 10\cdot(1{,}37k-0{,}12k):5:8=0. \]
Приведём подобные слагаемые в скобках: \[ 1{,}37k-0{,}12k=1{,}25k. \]
Выполним деление и умножение слева направо: \[ 10\cdot1{,}25k:5:8 =12{,}5k:5:8 =2{,}5k:8 =0{,}3125k. \]
Получаем: \[ 0{,}3125k=0. \]
Так как \(0{,}3125\ne0\), то \[ \boxed{k=0}. \]
Проверка: \[ 10\cdot(1{,}37\cdot0-0{,}12\cdot0):5:8=0, \] равенство верно.