Реши задание на изображении

Краткий ответ:

1. \[ 2a^2+12ab+18b^2=2(a+3b)^2 \]

2. \[ 5a^2+ab^2-10ab-2b^3=(a-2b)(5a+b^2) \]

3. \[ p^3+3p^2q+3pq^2+q^3=(p+q)^3 \]

4. \[ m^3-3m^2n+3mn^2-n^3=(m-n)^3 \]

Ключевые шаги:

1. Вынесем общий множитель \(2\): \[ 2a^2+12ab+18b^2=2(a^2+6ab+9b^2). \] В скобках находится квадрат суммы: \[ a^2+6ab+9b^2=a^2+2\cdot a\cdot3b+(3b)^2=(a+3b)^2. \]

2. Перегруппируем слагаемые: \[ 5a^2-10ab+ab^2-2b^3 =5a(a-2b)+b^2(a-2b). \] Выносим общий двучлен: \[ (a-2b)(5a+b^2). \]

3. Используем формулу куба суммы: \[ (x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3. \] Здесь \(x=p,\ y=q\), поэтому: \[ p^3+3p^2q+3pq^2+q^3=(p+q)^3. \]

4. Используем формулу куба разности: \[ (x-y)^3=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3. \] Здесь \(x=m,\ y=n\), поэтому: \[ m^3-3m^2n+3mn^2-n^3=(m-n)^3. \]

При обратном раскрытии скобок получаются исходные выражения, значит разложения выполнены верно.