Реши задучу 652
Ответ: \(CD=15\sqrt3\) см \(\approx 26\) см.
Дуга \(AB\) — полуокружность, поэтому её градусная мера равна \(180^\circ\).
Найдём дугу \(CD\): \[ \overset{\frown}{CD}=180^\circ-37^\circ-23^\circ=120^\circ. \]
Хорда, стягивающая дугу \(120^\circ\), имеет длину: \[ CD=2R\sin\frac{120^\circ}{2}. \]
Подставим \(R=15\) см: \[ CD=2\cdot15\cdot\sin60^\circ =30\cdot\frac{\sqrt3}{2} =15\sqrt3\text{ см}. \]
Проверка: \(15\sqrt3\approx25{,}98\) см, что меньше диаметра \(30\) см.
Обсуждение
2 сообщенияРеши без синусов и косинусов
Пусть \(O\) — центр окружности, \(R=15\) см.
Дуга \(CD\) равна: \[ 180^\circ-37^\circ-23^\circ=120^\circ. \] Значит, центральный угол: \[ \angle COD=120^\circ. \]
Опустим из \(O\) перпендикуляр \(OM\) на хорду \(CD\). В равнобедренном треугольнике \(COD\) этот перпендикуляр делит угол и хорду пополам:
\[ \angle COM=60^\circ,\qquad CM=MD. \]
Треугольник \(COM\) прямоугольный, его углы — \(30^\circ,60^\circ,90^\circ\). В таком треугольнике катет напротив угла \(30^\circ\) равен половине гипотенузы:
\[ OM=\frac{OC}{2}=\frac{15}{2}=7{,}5\text{ см}. \]
По теореме Пифагора: \[ CM^2=OC^2-OM^2 =15^2-\left(\frac{15}{2}\right)^2 =225-\frac{225}{4} =\frac{675}{4}. \]
\[ CM=\frac{15\sqrt3}{2}. \]
Так как \(CD=2CM\), получаем: \[ \boxed{CD=15\sqrt3\text{ см}}. \]
Синусы и косинусы не использовались.
