Объясни решение задачи

Пришли, пожалуйста, фото или текст условия задачи № 5 — в текущем чате оно не отображается.

Обозначим через \(N_1\) середину отрезка \(A_1B_1\).

Построение

1. Построй середину \(N_1\) отрезка \(A_1B_1\).
2. Проведи прямую \(N_1M_1\).
3. На луче \(N_1M_1\), за точкой \(M_1\), отметь точку \(C_1\) так, чтобы
   \[ M_1C_1=2N_1M_1. \]

Полученная точка \(C_1\) — искомая проекция вершины \(C\).

Почему так?

Точка \(M\) — точка пересечения медиан треугольника, то есть его центр тяжести. Центр тяжести делит медиану в отношении \(2:1\), считая от вершины:

\[ CM:MN=2:1. \]

Параллельная проекция сохраняет отношения отрезков на одной прямой, поэтому и на проекции:

\[ C_1M_1:M_1N_1=2:1. \]

Значит, точки расположены в порядке

\[ N_1,\ M_1,\ C_1, \]

причём от \(M_1\) до \(C_1\) нужно отложить два отрезка, равных \(N_1M_1\).

Построение

Обозначим через \(O_1\) проекцию центра \(O\) правильного шестиугольника.

1. Через \(A_1\) проведи прямую, параллельную \(B_1C_1\).
2. Через \(C_1\) проведи прямую, параллельную \(A_1B_1\).
   Точка их пересечения — \(O_1\).

Так как в правильном шестиугольнике \(ABCO\) — параллелограмм, его проекция \(A_1B_1C_1O_1\) также является параллелограммом.

3. Построй точки, симметричные данным относительно \(O_1\):
   • на продолжении \(A_1O_1\) за точку \(O_1\) отметь \(D_1\), чтобы
     \[ O_1A_1=O_1D_1; \]
   • аналогично построй \(E_1\), симметричную \(B_1\);
   • построй \(F_1\), симметричную \(C_1\).

То есть \(O_1\) должен быть серединой отрезков

\[ A_1D_1,\qquad B_1E_1,\qquad C_1F_1. \]

Полученная ломаная

\[ A_1B_1C_1D_1E_1F_1 \]

— искомая проекция правильного шестиугольника. Параллельная проекция сохраняет параллельность и середины отрезков, хотя форма шестиугольника может измениться.