Реши задание на изображении

На изображении три задания — 29–31.

Краткие ответы

29.

• а) \(x=\dfrac13,\;3\);
• б) \(x=-4,\;4\).

30.

• а) \(x\in(1;4)\);
• б) \(x\in(-\infty;-2]\cup\left[-\dfrac12;+\infty\right)\);
• в) \(x\in(-\infty;2)\cup(2;+\infty)\);
• г) \(x\in[0;6]\).

31.
\[ y=x^2-6x+8=(x-3)^2-1. \] Вершина параболы: \((3;-1)\), ось симметрии: \(x=3\), ветви направлены вверх.

---

29. Решите уравнения

а) \(3x^2-10x+3=0\)

Дискриминант:

\[ D=(-10)^2-4\cdot3\cdot3=100-36=64. \]

Тогда

\[ x_{1,2}=\frac{10\pm\sqrt{64}}{6} =\frac{10\pm8}{6}. \]

\[ x_1=\frac{18}{6}=3,\qquad x_2=\frac{2}{6}=\frac13. \]

Ответ:

\[ \boxed{x=\frac13,\;3}. \]

Проверка:
\(3\cdot 3^2-10\cdot3+3=27-30+3=0\).

---

б) \((x+2)^2=4(x+5)\)

Раскроем скобки:

\[ x^2+4x+4=4x+20. \]

Сократим \(4x\):

\[ x^2-16=0. \]

Разложим на множители:

\[ (x-4)(x+4)=0. \]

Отсюда

\[ x=4\quad\text{или}\quad x=-4. \]

Ответ:

\[ \boxed{x=-4,\;4}. \]

---

30. Решите неравенства

Правило: если квадратный трёхчлен имеет положительный коэффициент при \(x^2\), то он положителен вне корней и отрицателен между корнями.

а) \(x^2-5x+4<0\)

Разложим:

\[ x^2-5x+4=(x-1)(x-4). \]

Корни: \(1\) и \(4\). Выражение отрицательно между корнями:

\[ \boxed{x\in(1;4)}. \]

---

б) \(2x^2+5x+2\geq0\)

Разложим:

\[ 2x^2+5x+2=(2x+1)(x+2). \]

Корни:

\[ x=-2,\qquad x=-\frac12. \]

Знак «плюс» получается вне промежутка между корнями. Так как неравенство нестрогое, корни включаем:

\[ \boxed{x\in(-\infty;-2]\cup\left[-\frac12;+\infty\right)}. \]

---

в) \(x^2-4x+4>0\)

Это полный квадрат:

\[ x^2-4x+4=(x-2)^2. \]

Квадрат положителен при всех \(x\), кроме \(x=2\):

\[ \boxed{x\in(-\infty;2)\cup(2;+\infty)}. \]

---

г) \(x^2-6x\leq0\)

Вынесем \(x\):

\[ x^2-6x=x(x-6). \]

Корни: \(0\) и \(6\). Произведение отрицательно между корнями и равно нулю на концах. Поэтому:

\[ \boxed{x\in[0;6]}. \]

---

31. Построение графика \(y=x^2-6x+8\)

Выделим полный квадрат:

\[ y=x^2-6x+8=(x-3)^2-1. \]

Это график \(y=x^2\), сдвинутый на \(3\) единицы вправо и на \(1\) единицу вниз.

Основные характеристики:

• вершина: \(\boxed{(3;-1)}\);
• ось симметрии: \(\boxed{x=3}\);
• ветви направлены вверх;
• область определения: \(\mathbb R\);
• множество значений: \(\boxed{y\geq-1}\).

Точки для построения:

\[ \begin{array}{c|ccccc} x&1&2&3&4&5\\ \hline y&3&0&-1&0&3 \end{array} \]

Пересечения с осью \(Ox\):

\[ x^2-6x+8=0, \]

\[ (x-2)(x-4)=0, \]

поэтому точки \((2;0)\) и \((4;0)\).

Пересечение с осью \(Oy\):

\[ x=0,\qquad y=8, \]

то есть точка \((0;8)\).

Отмечаем эти точки и проводим через них параболу с вершиной \((3;-1)\).