Реши задание на изображении

Ответ:

а) \(\boxed{x\in(-\infty;-2]\cup[4;+\infty)}\)

б) \(\boxed{x\in[1;3]}\)

в) \(\boxed{x=3}\)

г) \(\boxed{\varnothing}\)

д) \(\boxed{x\in\left(-\infty;-\frac13\right)\cup(0;+\infty)}\)

е) \(\boxed{x\in[-7;7]}\)

Решение

Для квадратного трёхчлена с положительным коэффициентом при \(x^2\):

• значение \(\ge 0\) — за пределами корней;
• значение \(\le 0\) — между корнями.

а)

\[ x^2-2x-8\ge0 \]

Разложим на множители:

\[ x^2-2x-8=(x-4)(x+2). \]

Корни: \(x=-2\) и \(x=4\). Поэтому:

\[ \boxed{x\in(-\infty;-2]\cup[4;+\infty)}. \]

б)

\[ x^2-4x+3\le0 \]

\[ x^2-4x+3=(x-1)(x-3). \]

Корни: \(1\) и \(3\). Между корнями выражение отрицательно:

\[ \boxed{x\in[1;3]}. \]

в)

\[ x^2-6x+9\le0 \]

\[ x^2-6x+9=(x-3)^2. \]

Квадрат не может быть отрицательным, поэтому он равен нулю только при \(x=3\):

\[ \boxed{x=3}. \]

г)

\[ x^2+3x+7\le0 \]

Найдём дискриминант:

\[ D=3^2-4\cdot1\cdot7=9-28=-19<0. \]

Так как \(a=1>0\), выражение всегда положительно. Решений нет:

\[ \boxed{\varnothing}. \]

д)

\[ 3x^2+x>0 \]

Вынесем \(x\):

\[ x(3x+1)>0. \]

Корни:

\[ x=0,\qquad x=-\frac13. \]

Произведение положительно вне корней:

\[ \boxed{x\in\left(-\infty;-\frac13\right)\cup(0;+\infty)}. \]

Корни не включаются, так как неравенство строгое.

е)

\[ x^2-49\le0 \]

\[ x^2-49=(x-7)(x+7). \]

Или сразу:

\[ x^2\le49 \quad\Longrightarrow\quad |x|\le7. \]

Следовательно,

\[ \boxed{x\in[-7;7]}. \]

Проверка: в пунктах а), б), д), е) знаки меняются в найденных корнях, а в пункте в) квадрат равен нулю только при \(x=3\).