Реши задание на изображении
Исследование преобразований степеней
Мне нужно дать ответ на русском языке. Я начну с краткого введения, затем изложу основные шаги и правила. Одно из правил, которое я могу упомянуть: \(a^{-n}=1/a^n=(1/a)^n\) при \(a \neq 0\). Вероятно, мне следует перечислить применимые преобразования. Возможно, стоит добавить проверку: что-то вроде «Проверка: отрицательные степени инвертируют основание». Я также могу проверить каждое преобразование, но, возможно, сейчас это не обязательно.
Вычисление уравнений
Я разбираю несколько уравнений, содержащих выражение x^-2. Мне нужно убедиться в точности, поэтому я перепроверяю различные случаи. Например, у меня есть \((5/3)^4 * 81/625\), равное 1, а также .002 * 500, что даёт 1.
Кроме того, \((-4/3)^5 * (-243/1024) = 1\), что подтверждается, поскольку \((-4/3)^5\) равно \(-1024/243\), и при умножении на \(-243/1024\) получается 1. Похоже, всё изложено подробно, но я задаюсь вопросом, не слишком ли это много деталей.
Краткий ответ:
а) \(27\);
б) \(\dfrac{4}{3}\);
в) \(10000\);
г) \(\dfrac{81}{625}\);
д) \(500\);
е) \(-\dfrac{243}{1024}\).
Правило:
\[
a^{-n}=\frac{1}{a^n}=\left(\frac1a\right)^n.
\]
Решение:
а)
\[
\left(\frac13\right)^{-3}=3^3=27.
\]
б)
\[
\left(\frac34\right)^{-1}=\frac43.
\]
в)
\[
0{,}01=\frac1{100},
\qquad
(0{,}01)^{-2}=\left(\frac1{100}\right)^{-2}=100^2=10000.
\]
г)
\[
1\frac23=\frac53,
\qquad
\left(1\frac23\right)^{-4}
=\left(\frac53\right)^{-4}
=\left(\frac35\right)^4
=\frac{81}{625}.
\]
д)
\[
0{,}002=\frac1{500},
\qquad
(0{,}002)^{-1}=500.
\]
е)
\[
-1\frac13=-\frac43,
\qquad
\left(-1\frac13\right)^{-5}
=\left(-\frac43\right)^{-5}
=\left(-\frac34\right)^5
=-\frac{243}{1024}.
\]
Проверка: произведение исходного числа, возведённого в соответствующую положительную степень, и полученного ответа равно \(1\). Например, \[ \left(\frac13\right)^3\cdot27=1, \qquad 0{,}002\cdot500=1. \]
