Реши задание 1014

Краткий ответ:

а) \(\cos\alpha=\pm\dfrac12\);

б) \(\cos\alpha=\pm\dfrac{\sqrt{15}}4\);

в) \(\cos\alpha=\pm1\).

Решение:

Используем основное тригонометрическое тождество:

\[ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1, \qquad \cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha. \]

а) При \(\sin\alpha=\dfrac{\sqrt3}{2}\):

\[ \cos^2\alpha=1-\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2 =1-\frac34=\frac14, \]

\[ \cos\alpha=\pm\frac12. \]

б) При \(\sin\alpha=\dfrac14\):

\[ \cos^2\alpha=1-\left(\frac14\right)^2 =1-\frac1{16}=\frac{15}{16}, \]

\[ \cos\alpha=\pm\frac{\sqrt{15}}4. \]

в) При \(\sin\alpha=0\):

\[ \cos^2\alpha=1, \qquad \cos\alpha=\pm1. \]

Знак нельзя выбрать однозначно, потому что в условии не указана четверть или диапазон угла \(\alpha\). Проверка: во всех случаях \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\).