Почему только через три точки не лежащие на одной прямой проходит плоскость и только 1
Объяснение определения плоскости
Я рассуждаю о том, как три точки определяют единственную плоскость. Точки A и B определяют прямую AB, точки A и C определяют прямую AC, и они пересекаются в точке A. Аксиоматически плоскость, проходящая через эти точки, существует, если они неколлинеарны; в противном случае может существовать бесконечно много плоскостей. В то время как две точки определяют прямую, три неколлинеарные точки однозначно определяют плоскость. Я постараюсь сделать своё объяснение ясным и кратким, учитывая связанные с этим нюансы.
«Приведите пример того, почему три коллинеарные точки не определяют единственную плоскость».
Краткий ответ: через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит ровно одна плоскость.
Почему:
Пусть даны точки \(A\), \(B\), \(C\), причём они не лежат на одной прямой.
- Через точки \(A\) и \(B\) проходит прямая \(AB\).
- Через точки \(A\) и \(C\) проходит прямая \(AC\).
- Прямые \(AB\) и \(AC\) пересекаются в точке \(A\) и не совпадают, так как точки \(A\), \(B\), \(C\) неколлинеарны.
- Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость. Значит, существует одна плоскость, содержащая точки \(A\), \(B\), \(C\).
Почему именно одна? Любая плоскость, проходящая через \(A\), \(B\), \(C\), должна содержать обе прямые \(AB\) и \(AC\). А плоскость через две пересекающиеся прямые единственна.
Важно: плоскость содержит не только эти три точки — в ней бесконечно много точек. Три неколлинеарные точки лишь однозначно задают плоскость.
Если бы три точки лежали на одной прямой, через эту прямую можно было бы провести бесконечно много плоскостей.
