Реши задание на изображении

Краткий ответ:

1. Найдите значения:

   • а) \(\displaystyle \frac12\);
   • б) \(3\).

2. Разложите на множители:

   • а) \(\displaystyle (\sqrt a-\sqrt b)(a+\sqrt{ab}+b)\);
   • б) \(\displaystyle (1-\sqrt[3]{a})(1-\sqrt[3]{b})\).

3. Упростите выражение: \(\boxed{1}\).

1. Найдём значения выражений

а)
\[ 2\cdot 64^{-\frac13} =2\cdot \frac{1}{\sqrt[3]{64}} =2\cdot \frac14 =\frac12. \]

б) Используем свойство произведения кубических корней:

\[ \sqrt[3]{\sqrt{52}-5}\cdot\sqrt[3]{\sqrt{52}+5} = \sqrt[3]{(\sqrt{52}-5)(\sqrt{52}+5)}. \]

По формуле разности квадратов:

\[ (\sqrt{52}-5)(\sqrt{52}+5)=52-25=27. \]

Значит,

\[ \sqrt[3]{27}=3. \]

2. Разложим на множители

а) Обозначим \(x=\sqrt a\), \(y=\sqrt b\). Тогда

\[ a^{\frac32}-b^{\frac32}=x^3-y^3. \]

Используем формулу разности кубов:

\[ x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2). \]

Возвращаясь к \(a\) и \(b\), получаем:

\[ a^{\frac32}-b^{\frac32} =(\sqrt a-\sqrt b)(a+\sqrt{ab}+b). \]

б) Обозначим \(A=\sqrt[3]{a}\), \(B=\sqrt[3]{b}\). Тогда

\[ 1-A+AB-B. \]

Сгруппируем слагаемые:

\[ 1-A+AB-B=(1-A)+B(A-1). \]

Так как \(A-1=-(1-A)\), то

\[ (1-A)+B(A-1) =(1-A)-B(1-A) =(1-A)(1-B). \]

Следовательно,

\[ 1-\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}-\sqrt[3]{b} = (1-\sqrt[3]{a})(1-\sqrt[3]{b}). \]

3. Упростим выражение

Пусть

\[ x=\sqrt a,\qquad y=\sqrt b. \]

Тогда \(a^{3/2}=x^3\), \(b^{3/2}=y^3\), а \((ab)^{1/2}=xy\).

По формуле суммы кубов:

\[ \frac{x^3+y^3}{x+y} =x^2-xy+y^2. \]

Поэтому выражение в первых скобках равно

\[ x^2-xy+y^2-xy =x^2-2xy+y^2 =(x-y)^2. \]

Кроме того,

\[ a-b=x^2-y^2=(x-y)(x+y). \]

Подставим:

\[ \frac{(x-y)^2}{(x-y)(x+y)} +\frac{2y}{x+y} = \frac{x-y}{x+y}+\frac{2y}{x+y}. \]

Складываем:

\[ \frac{x-y+2y}{x+y} =\frac{x+y}{x+y}=1. \]

Ответ верен при допустимых значениях \(a,b\), когда знаменатели исходного выражения не равны нулю.