Реши задание на изображении
Вычисление кубических корней и разложение на множители
Я вычисляю кубический корень из произведения, полученного из \((\sqrt{52}-5)(\sqrt{52}+5)\), которое упрощается до кубического корня из 27, что даёт 3. Похоже, это правильно.
Я также рассмотрел разложение \(a^3/2 - b^3/2\) на множители, используя формулу для полных кубов. Она показывает, что для неотрицательных \(a\) и \(b\) выражение раскладывается как \((\sqrt{a} - \sqrt{b})(a + \sqrt{ab} + b)\).
Анализ математических условий
Я рассматриваю некоторые математические условия, касающиеся степеней вроде \(a^{3/2}\) и \(\sqrt{a}\), где переменные \(a\) и \(b\) должны быть неотрицательными. Нужно проверить, что знаменатель \(\sqrt{a} + \sqrt{b}\) не равен нулю, а это означает, что и \(a\), и \(b\) должны быть положительными. Кроме того, я рассматриваю условие \(a - b \ne 0\), чтобы избежать проблем. Оба эти условия имеют важные последствия для вычислений.
Краткий ответ:
Найдите значения:
- а) \(\displaystyle \frac12\);
- б) \(3\).
Разложите на множители:
- а) \(\displaystyle (\sqrt a-\sqrt b)(a+\sqrt{ab}+b)\);
- б) \(\displaystyle (1-\sqrt[3]{a})(1-\sqrt[3]{b})\).
Упростите выражение: \(\boxed{1}\).
1. Найдём значения выражений
а)
\[
2\cdot 64^{-\frac13}
=2\cdot\frac1{\sqrt[3]{64}}
=2\cdot\frac14
=\frac12.
\]
б) Используем свойство произведения кубических корней: \[ \sqrt[3]{\sqrt{52}-5}\cdot\sqrt[3]{\sqrt{52}+5} = \sqrt[3]{(\sqrt{52}-5)(\sqrt{52}+5)}. \]
По формуле разности квадратов: \[ (\sqrt{52}-5)(\sqrt{52}+5)=52-25=27. \]
Значит, \[ \sqrt[3]{27}=3. \]
2. Разложим на множители
а) Представим степени как кубы: \[ a^{\frac32}-b^{\frac32} =(\sqrt a)^3-(\sqrt b)^3. \]
Применяем формулу \[ x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2): \] \[ a^{\frac32}-b^{\frac32} =(\sqrt a-\sqrt b)(a+\sqrt{ab}+b). \]
б) Обозначим \(x=\sqrt[3]{a}\), \(y=\sqrt[3]{b}\): \[ 1-x+xy-y. \]
Группируем: \[ 1-x+xy-y=(1-x)+y(x-1). \]
Так как \(x-1=-(1-x)\), получаем: \[ (1-x)-y(1-x)=(1-x)(1-y). \]
Следовательно, \[ 1-\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}-\sqrt[3]{b} = (1-\sqrt[3]{a})(1-\sqrt[3]{b}). \]
3. Упростим выражение
Пусть \[ x=\sqrt a,\qquad y=\sqrt b. \]
Тогда \(a=x^2\), \(b=y^2\), а \(a^{3/2}=x^3\), \(b^{3/2}=y^3\). Выражение принимает вид: \[ \left(\frac{x^3+y^3}{x+y}-xy\right)\div(x^2-y^2) +\frac{2y}{x+y}. \]
По формуле суммы кубов: \[ \frac{x^3+y^3}{x+y}=x^2-xy+y^2. \]
Тогда: \[ x^2-xy+y^2-xy=x^2-2xy+y^2=(x-y)^2. \]
Получаем: \[ \frac{(x-y)^2}{(x-y)(x+y)}+\frac{2y}{x+y} = \frac{x-y}{x+y}+\frac{2y}{x+y}. \]
Складываем дроби: \[ \frac{x-y+2y}{x+y} = \frac{x+y}{x+y}=1. \]
Ответ верен при \(a,b\ge 0\) и \(a\ne b\), чтобы исходное выражение было определено.
