Номер 68 и 69(1,2;3)
Анализ свойств степеней
Мне нужно проанализировать строку 1) 2^{√5} · 2^{-√5}. Вероятно, это произведение, которое, возможно, приводит к ответу 1. Я вижу точку между членами на изображении, что, по-видимому, указывает на умножение, а не на вычитание.
Затем в следующей строке имеется 2^{2-3√5} · 8^{√5}. Важно уточнить, что точка между членами обозначает умножение. Мне нужно будет точно это определить.
Упрощение выражений со степенями
Я рассматриваю упражнение из учебника, посвящённое законам и степеням. У меня есть набор выражений для упрощения, и, по-видимому, они достаточно легко сводятся к выполнимым вычислениям. Для первого набора я получаю, что они упрощаются до 1, 1, 125 и 1/16. Переходя к следующим выражениям, я при необходимости преобразую основания, например заменяю 8 на \(2^3\). Результаты очевидны: 4 для первого, 3 для второго и \(1/5\) для третьего.
Подготовка итоговых инструкций
Мне нужно предоставить «один вопрос или одно повелительное предложение». Фраза «Разобрать также пункт 69(4)» является повелительной, так что она должна подойти. Я проверяю, не содержит ли она уже что-то пропущенное, и, по-видимому, она полезна. В инструкциях также сказано, что при наличии осмысленного следующего шага следует добавить его отдельной последней строкой. Убедимся, что я включу эту последнюю строку, чтобы всё завершить!
Разобрать также пункт 69(4).
Краткий ответ:
№ 68:
- \(1\); 2) \(1\); 3) \(125\); 4) \(\dfrac{1}{16}\).
№ 69:
- \(4\); 2) \(3\); 3) \(\dfrac{1}{5}\).
№ 68
Используем свойства степеней:
\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},\qquad (a^m)^n=a^{mn}. \]
\[ 2^{\sqrt5}\cdot 2^{-\sqrt5} =2^{\sqrt5-\sqrt5} =2^0=1. \]
Представим \(9\) как \(3^2\):
\[ 3^{2\sqrt2}:9^{\sqrt2} =\frac{3^{2\sqrt2}}{(3^2)^{\sqrt2}} =\frac{3^{2\sqrt2}}{3^{2\sqrt2}} =1. \]
\[ (5^{\sqrt3})^{\sqrt3} =5^{\sqrt3\cdot\sqrt3} =5^3=125. \]
\[ \left((0{,}5)^{\sqrt2}\right)^{\sqrt8} =(0{,}5)^{\sqrt2\cdot\sqrt8}. \]
Так как
\[ \sqrt2\cdot\sqrt8=\sqrt{16}=4, \]
то
\[ (0{,}5)^4=\left(\frac12\right)^4=\frac1{16}. \]
№ 69
- Представим \(8\) как \(2^3\):
\[ 2^{2-3\sqrt5}\cdot 8^{\sqrt5} =2^{2-3\sqrt5}\cdot(2^3)^{\sqrt5} \]
\[ =2^{2-3\sqrt5}\cdot2^{3\sqrt5} =2^2=4. \]
- Представим \(9\) как \(3^2\):
\[ 3^{1+2\sqrt[3]{2}}:9^{\sqrt[3]{2}} = \frac{3^{1+2\sqrt[3]{2}}}{(3^2)^{\sqrt[3]{2}}} \]
\[ =\frac{3^{1+2\sqrt[3]{2}}}{3^{2\sqrt[3]{2}}} =3^{1}=3. \]
- \[ (5^{1+\sqrt2})^{1-\sqrt2} =5^{(1+\sqrt2)(1-\sqrt2)}. \]
По формуле разности квадратов:
\[ (1+\sqrt2)(1-\sqrt2)=1-(\sqrt2)^2=1-2=-1. \]
Следовательно,
\[ 5^{-1}=\frac15. \]
Проверка выполнена приведением всех степеней к одинаковому основанию.
