Реши задание на изображении

Краткий ответ:

\[ \boxed{\text{а) }a;\quad \text{б) }\sqrt3a;\quad \text{в) }\sqrt3a;\quad \text{г) }a;\quad \text{д) }a.} \]

В равностороннем треугольнике:

\[ AB=BC=CA=a,\qquad \angle A=\angle B=\angle C=60^\circ. \]

Используем правило сложения векторов и формулу

\[ |\vec u+\vec v|^2=|\vec u|^2+|\vec v|^2+ 2|\vec u||\vec v|\cos\varphi. \]

а) \(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right|\)

По правилу треугольника:

\[ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}. \]

Следовательно,

\[ \left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right|=AC=a. \]

б) \(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|\)

Угол между \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\) равен \(60^\circ\):

\[ \begin{aligned} \left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|^2 &=a^2+a^2+2a^2\cos60^\circ\\ &=2a^2+a^2=3a^2. \end{aligned} \]

Значит,

\[ \left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt3a. \]

в) \(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}\right|\)

Угол между \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CB}\) также равен \(60^\circ\), а длины обоих векторов равны \(a\). Поэтому:

\[ \left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}\right|=\sqrt3a. \]

г) \(\left|\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}\right|\)

Так как \(-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CB}\), то

\[ \overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC} =\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CB} =\overrightarrow{CA}. \]

Следовательно,

\[ \left|\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}\right|=CA=a. \]

д) \(\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|\)

\[ \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC} =\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA} =\overrightarrow{CB}. \]

Значит,

\[ \left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|=CB=a. \]