сделай задание 1018-1019

Краткий ответ

1018

Координаты точки \(A\):

а) \(\left(\dfrac{3\sqrt2}{2};\dfrac{3\sqrt2}{2}\right)\);

б) \(\left(0;\dfrac32\right)\);

в) \(\left(-\dfrac{5\sqrt3}{2};\dfrac52\right)\);

г) \((-1;0)\);

д) \((\sqrt3;1)\).

1019

а) \(45^\circ\);

б) \(90^\circ\);

в) \(150^\circ\);

г) \(135^\circ\).

Решение

Если \(OA=r\), а угол между лучом \(OA\) и положительной полуосью \(Ox\) равен \(\alpha\), то

\[ x=r\cos\alpha,\qquad y=r\sin\alpha. \]

1018

а) \(r=3,\ \alpha=45^\circ\):

\[ x=3\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac{3\sqrt2}{2},\qquad y=3\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac{3\sqrt2}{2}. \]

б) \(r=1{,}5,\ \alpha=90^\circ\):

\[ x=1{,}5\cdot0=0,\qquad y=1{,}5\cdot1=1{,}5=\frac32. \]

в) \(r=5,\ \alpha=150^\circ\):

\[ \cos150^\circ=-\frac{\sqrt3}{2},\qquad \sin150^\circ=\frac12, \]

\[ x=-\frac{5\sqrt3}{2},\qquad y=\frac52. \]

г) \(r=1,\ \alpha=180^\circ\):

\[ x=1\cdot(-1)=-1,\qquad y=1\cdot0=0. \]

д) \(r=2,\ \alpha=30^\circ\):

\[ x=2\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\sqrt3,\qquad y=2\cdot\frac12=1. \]

Проверка: во всех случаях

\[ \sqrt{x^2+y^2}=OA. \]

1019

Для точки \(A(x;y)\):

\[ r=\sqrt{x^2+y^2},\qquad \cos\alpha=\frac{x}{r},\qquad \sin\alpha=\frac{y}{r}. \]

а) \(A(2;2)\):

\[ r=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt2,\qquad \cos\alpha=\frac{\sqrt2}{2}, \]

значит, \(\alpha=45^\circ\).

б) \(A(0;3)\). Точка лежит на положительной полуоси \(Oy\), поэтому

\[ \alpha=90^\circ. \]

в) \(A(-\sqrt3;1)\):

\[ r=2,\qquad \cos\alpha=-\frac{\sqrt3}{2},\qquad \sin\alpha=\frac12. \]

Это угол второй четверти:

\[ \alpha=150^\circ. \]

г) \(A(-2\sqrt2;2\sqrt2)\):

\[ r=4,\qquad \cos\alpha=-\frac{\sqrt2}{2},\qquad \sin\alpha=\frac{\sqrt2}{2}. \]

Следовательно,

\[ \alpha=135^\circ. \]