реши номера 12 и 13
Вычисление неравенств и дробей
Я рассматриваю неравенство с \( a \) и способ его разложения на множители. Вижу, что группировка помогает, поэтому \( a^2(a-6) + (a-6) \) удачно раскладывается на множители. Мне нужно подтвердить условия для \( a \), когда оно больше или меньше определённых значений, особенно относительно \( a < -6 \). Я обобщу свои выводы и постараюсь дать ясный ответ, возможно используя для наглядности фразы на английском и русском языках.
Изучение методов решения задач
Я работаю в режиме «Понять», чтобы сформулировать краткий ответ на русском языке. Нужно убедиться, что мой следующий ответ не повторяет полностью уже сказанное, а сосредоточен на новом методе. Моя цель — представить краткие шаги в ясной форме. Я тщательно проверяю преобразование неравенства, начиная с уравнения в левой части: \( (4p - 1)(p + 1) - (p - 3)(p + 3) > 3(p^2 + p) \), и вычисляю каждую часть для уточнения.
Краткий ответ: все неравенства верны при указанных условиях.
№ 12
1)
Нужно доказать: \[ 28a-32\le 7a^2-4. \]
Перенесём левую часть вправо: \[ 7a^2-4-(28a-32)=7a^2-28a+28=7(a-2)^2. \]
Так как квадрат неотрицателен, \[ 7(a-2)^2\ge 0. \]
Значит, \[ \boxed{28a-32\le 7a^2-4}. \]
2)
\[ 9x^2-6xy+4y^2 =(3x-y)^2+3y^2. \]
Оба слагаемых неотрицательны, поэтому \[ (3x-y)^2+3y^2\ge 0. \]
Следовательно, \[ \boxed{9x^2-6xy+4y^2\ge 0}. \]
3)
Нужно доказать: \[ 3(b-1)<b(b+1). \]
Найдём разность правой и левой частей: \[ b(b+1)-3(b-1)=b^2+b-3b+3 =b^2-2b+3=(b-1)^2+2. \]
Так как \[ (b-1)^2+2>0, \] то правая часть действительно больше левой: \[ \boxed{3(b-1)<b(b+1)}. \]
4)
Раскроем скобки: \[ (4p-1)(p+1)=4p^2+3p-1, \] \[ (p-3)(p+3)=p^2-9. \]
Тогда левая часть равна \[ 4p^2+3p-1-(p^2-9) =3p^2+3p+8. \]
Получаем: \[ 3p^2+3p+8=3(p^2+p)+8. \]
Поскольку \(8>0\), \[ \boxed{(4p-1)(p+1)-(p-3)(p+3)>3(p^2+p)}. \]
№ 13
1)
При \(a\ge 6\): \[ a^3-6a^2+a-6 =a^2(a-6)+(a-6) =(a-6)(a^2+1). \]
Здесь \[ a-6\ge 0,\qquad a^2+1>0. \]
Значит, \[ \boxed{a^3-6a^2+a-6\ge 0}. \]
2)
Нужно доказать: \[ ab+1>a+b. \]
Перенесём всё в левую часть: \[ ab+1-a-b=ab-a-b+1=(a-1)(b-1). \]
Так как \(a>1\) и \(b>1\), то \[ a-1>0,\qquad b-1>0, \] следовательно, \[ (a-1)(b-1)>0. \]
Поэтому \[ \boxed{ab+1>a+b}. \]
3)
Приведём левую часть к общему знаменателю: \[ \frac{a+3}{3}+\frac{3a-2}{4} =\frac{4a+12+9a-6}{12} =\frac{13a+6}{12}. \]
Сравним её с \(a\): \[ a-\frac{13a+6}{12} =\frac{12a-13a-6}{12} =\frac{-a-6}{12}. \]
Так как \(a<-6\), то \[ -a-6>0, \] значит, \[ a-\frac{13a+6}{12}>0. \]
Следовательно, \[ \boxed{\frac{a+3}{3}+\frac{3a-2}{4}<a}. \]
Основной принцип: чтобы доказать \(A\le B\), удобно найти разность \(B-A\) и показать, что она неотрицательна; для строгого неравенства — что она положительна.
