Реши задание на изображении
Объяснение неравенств
Я размышляю над списком неравенств: x ∈ (3/2, +∞) и x ∈ (-7/4, +∞), а также над общей концепцией преобразования неравенств. В первом неравенстве я делю на положительное число, поэтому менять знак неравенства не нужно. Во втором я ожидаю, что деление на отрицательное число изменит направление знака неравенства.
Я должен показать подробные шаги, например раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. Похоже, что посредством проверки значений я найду границу при x = 3/2.
Краткий ответ:
\(-2(x-1)<-7+4x\):
\[ x>\frac32 \]\(-4(-x-2)>-6-4x\):
\[ x>-\frac74 \]\[ x^2+10x+25\ge 0:\quad x\in\mathbb R \]
\[ 2x^2-3x+4>0:\quad x\in\mathbb R \]
Решение
1) Раскроем скобки:
\[ -2x+2<-7+4x \]
Перенесём слагаемые:
\[ 2+7<4x+2x \]
\[ 9<6x \]
Делим на \(6>0\):
\[ x>\frac{9}{6}=\frac32 \]
Проверка: при \(x=2\) получаем \(-2<1\), верно.
2) Раскроем скобки:
\[ 4x+8>-6-4x \]
Перенесём слагаемые:
\[ 8x>-14 \]
Делим на \(8>0\):
\[ x>-\frac{14}{8}=-\frac74 \]
Проверка: при \(x=-1\) получаем \(4>-2\), верно.
9) Представим выражение в виде квадрата:
\[ x^2+10x+25=(x+5)^2 \]
Квадрат любого числа неотрицателен:
\[ (x+5)^2\ge0 \]
Следовательно, неравенство верно при любом \(x\):
\[ \boxed{x\in\mathbb R} \]
Равенство достигается при \(x=-5\).
10) Найдём дискриминант:
\[ D=(-3)^2-4\cdot2\cdot4=9-32=-23<0 \]
Корней нет. Так как коэффициент при \(x^2\) положительный (\(2>0\)), парабола расположена выше оси \(Ox\). Значит,
\[ 2x^2-3x+4>0 \]
при любом \(x\):
\[ \boxed{x\in\mathbb R} \]
