медиана , биссектриса и высота треугольника и свойства их

Краткий ответ

В треугольнике:

• медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны;
• биссектриса делит угол треугольника пополам;
• высота перпендикулярна противоположной стороне или её продолжению.

Рассмотрим треугольник \(ABC\).

1. Медиана

Пусть \(M\) — середина стороны \(BC\). Тогда отрезок \(AM\) — медиана:

\[ BM=MC. \]

Свойства медианы:

• делит противоположную сторону пополам;
• делит площадь треугольника на две равные части:

\[ S_{ABM}=S_{ACM}; \]

• три медианы пересекаются в одной точке — центроиде;
• центроид делит каждую медиану в отношении \(2:1\), считая от вершины.

2. Биссектриса

Если отрезок \(AD\) делит угол \(A\) пополам, то \(AD\) — биссектриса:

\[ \angle BAD=\angle DAC. \]

Свойства биссектрисы:

• делит угол вершины на два равных угла;
• делит противоположную сторону пропорционально прилежащим сторонам:

\[ \frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}; \]

• точка пересечения трёх биссектрис равноудалена от всех сторон треугольника;
• эта точка называется центром вписанной окружности.

3. Высота

Если \(AH\perp BC\), то \(AH\) — высота, проведённая из вершины \(A\):

\[ \angle AHB=90^\circ. \]

Свойства высоты:

• образует прямой угол с противоположной стороной или её продолжением;
• используется для вычисления площади:

\[ S=\frac12\cdot BC\cdot AH; \]

• три высоты или их продолжения пересекаются в одной точке — ортоцентре.

Как не перепутать

• Медиана → ищем середину стороны: \(BM=MC\).
• Биссектриса → ищем равные углы.
• Высота → ищем прямой угол \(90^\circ\).

Важный частный случай

В равнобедренном треугольнике, проведённые из вершины к основанию, медиана, биссектриса и высота совпадают.

Проверка: для медианы должны быть равны два отрезка стороны, для биссектрисы — два угла, для высоты — угол \(90^\circ\).