Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Ответ: \(x_1=2,\; x_2=3\).
Ищем два числа, произведение которых равно \(6\), а сумма — \(-5\). Это числа \(-2\) и \(-3\). Поэтому:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Тогда:
\[ (x-2)(x-3)=0. \]
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:
\[ x-2=0 \Rightarrow x=2, \]
\[ x-3=0 \Rightarrow x=3. \]
Проверка:
\[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0; \]
\[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0. \]
Оба корня подходят.
Обсуждение
2 сообщенияНе очень понял. Объясни подробнее второй этап: откуда там x?
\(x\) не появляется заново — это та же неизвестная, которая была в исходном уравнении:
\[ x^2-5x+6=0. \]
Откуда взялись скобки \((x-2)(x-3)\)?
Раскроем скобки обратно:
\[ (x-2)(x-3). \]
Каждый член первой скобки умножаем на каждый член второй:
\[ x\cdot x+x\cdot(-3)+(-2)\cdot x+(-2)\cdot(-3). \]
Получаем:
\[ x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6. \]
Значит,
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3), \]
и уравнение можно записать так:
\[ (x-2)(x-3)=0. \]
Почему затем рассматриваем \(x-2=0\) и \(x-3=0\)?
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
\[ x-2=0 \quad \text{или} \quad x-3=0. \]
Отсюда:
\[ x=2 \quad \text{или} \quad x=3. \]
Ответ:
\[ \boxed{x_1=2,\;x_2=3}. \]
