21,22

Қысқаша жауап

21) \(\displaystyle CD=\frac{6\sqrt{10}}{7}\)

22) \(\displaystyle AD=\frac{3\sqrt5}{5}\)

21-есеп

Берілгені: \(\angle C=90^\circ\), \(AC=3\), \(AB=7\). \(AB\) — гипотенуза.

Алдымен Пифагор теоремасы бойынша \(BC\)-ны табамыз:

\[ BC^2=AB^2-AC^2=7^2-3^2=49-9=40, \]

\[ BC=2\sqrt{10}. \]

Үшбұрыштың ауданын екі түрлі өрнектейміз:

\[ S=\frac12 AC\cdot BC=\frac12 AB\cdot CD. \]

Осыдан:

\[ CD=\frac{AC\cdot BC}{AB} =\frac{3\cdot2\sqrt{10}}{7} =\boxed{\frac{6\sqrt{10}}7}. \]

Тексеру: \(CD\approx2{,}71<AC=3\), бұл дұрыс, өйткені биіктік катеттен кіші.

22-есеп

Берілгені: \(\angle C=90^\circ\), \(AC=3\), \(BC=6\).

Алдымен гипотенузаны табамыз:

\[ AB=\sqrt{AC^2+BC^2} =\sqrt{3^2+6^2} =\sqrt{45}=3\sqrt5. \]

Гипотенузаға түсірілген биіктік катеттердің проекцияларын бөледі. Проекция теоремасы бойынша:

\[ AC^2=AB\cdot AD. \]

Сондықтан:

\[ AD=\frac{AC^2}{AB} =\frac{3^2}{3\sqrt5} =\frac3{\sqrt5} =\boxed{\frac{3\sqrt5}{5}}. \]

Есте сақта:

\[ \boxed{h=\frac{ab}{c}} \]

— тікбұрышты үшбұрыштың гипотенузаға түсірілген биіктігі үшін;

\[ \boxed{a^2=c\cdot m} \]

— катет пен оның гипотенузадағы проекциясы үшін.