реши пример
Анализ расположения уравнения
Я отмечаю, что есть второй тёмный штрих, начинающийся в точке x47 и переходящий в открывающуюся скобку около x48. В разметке пользователя показано выражение: (2x + 3)^4 - 3 = 8(4x^2 + 12x + 9), поэтому мне нужно обратить внимание на визуально отображаемое изображение. Левая граница пересекает кривую открывающейся скобки, что выглядит странно. Я прослежу, чтобы правильно интерпретировать показатель степени и ясно объяснить принцип решения уравнения.
Проверка согласованности уравнения
Я думаю, можно сказать: «Используем замену». Звучит хорошо! Далее мне нужно проверить, действительно ли правая часть (RHS) равна 8, умноженному на (4x² + 12x + 9), и это так. Я также замечаю, что 4x² + 12x + 9 можно переписать как (2x + 3)². Я хочу убедиться, что ясно объясняю эти преобразования, чтобы любому было легко следить за логикой уравнения.
Вычисление приближённых значений
Я работаю с некоторыми приближёнными значениями. Квадратный корень из 19 примерно равен 4.3589, поэтому при добавлении 4 получается около 8.3589. Затем я проверяю 2.891 — посмотрим: если возвести 2.89118 в квадрат, получится ли примерно 8.358? Используя для вычислений метод Ньютона, я нахожу, что 2.891^2 очень близко! Я также разобрался с некоторыми дифференциальными уравнениями, нашёл корни и проверил разложения на множители. Представление выражения в виде (2x+3)^2 интересно и важно для этого процесса!
Ответ: \[ x_1=\frac{-3+\sqrt{4+\sqrt{19}}}{2},\qquad x_2=\frac{-3-\sqrt{4+\sqrt{19}}}{2}. \]
Решим уравнение: \[ (2x+3)^4-3=8(4x^2+12x+9). \]
Заметим, что \[ 4x^2+12x+9=(2x+3)^2. \]
Сделаем замену: \[ t=(2x+3)^2,\qquad t\ge 0. \]
Тогда: \[ t^2-3=8t, \] \[ t^2-8t-3=0. \]
По формуле корней: \[ t=\frac{8\pm\sqrt{64+12}}2 =\frac{8\pm\sqrt{76}}2 =4\pm\sqrt{19}. \]
Так как \(t\ge0\), значение \[ 4-\sqrt{19}<0 \] не подходит. Значит, \[ (2x+3)^2=4+\sqrt{19}. \]
Извлекаем квадратный корень: \[ 2x+3=\pm\sqrt{4+\sqrt{19}}. \]
Отсюда: \[ \boxed{x_1=\frac{-3+\sqrt{4+\sqrt{19}}}{2}},\qquad \boxed{x_2=\frac{-3-\sqrt{4+\sqrt{19}}}{2}}. \]
Проверка: при \(t=4+\sqrt{19}\) \[ t^2-8t-3=0, \] значит оба найденных значения \(x\) удовлетворяют исходному уравнению.
Обсуждение
4 сообщенияреши
В условии стоит \(-9\), поэтому решаем так:
\[ (2x+3)^4-9=8(4x^2+12x+9). \]
Заметим: \[ 4x^2+12x+9=(2x+3)^2. \]
Сделаем замену: \[ t=(2x+3)^2,\quad t\ge0. \]
Тогда: \[ t^2-9=8t, \] \[ t^2-8t-9=0, \] \[ (t-9)(t+1)=0. \]
Так как \(t\ge0\), получаем \(t=9\). Значит,
\[ (2x+3)^2=9, \] \[ 2x+3=\pm3. \]
Отсюда: \[ x=0 \quad \text{или} \quad x=-3. \]
\[ \boxed{x_1=-3,\qquad x_2=0} \]
реши
Решим уравнение:
\[ \sqrt{x^2-4x+4}-6=5\sqrt{2-x}. \]
Область допустимых значений:
\[ 2-x\ge 0 \quad\Rightarrow\quad x\le 2. \]
Так как \(x\le2\), то
\[ \sqrt{x^2-4x+4} =\sqrt{(x-2)^2} =|x-2|=2-x. \]
Получаем:
\[ 2-x-6=5\sqrt{2-x}, \] \[ -4-x=5\sqrt{2-x}. \]
Положим \(t=\sqrt{2-x}\), тогда \(t\ge0\), а \(x=2-t^2\):
\[ t^2-6=5t, \] \[ t^2-5t-6=0, \] \[ (t-6)(t+1)=0. \]
Так как \(t\ge0\), \(t=6\). Тогда
\[ \sqrt{2-x}=6, \] \[ 2-x=36, \] \[ \boxed{x=-34}. \]
Проверка выполняется.
