решаем самостоятельно номер 1 и 2
Краткий ответ
Сумма углов выпуклого многоугольника:
а) шестиугольника — \(720^\circ\);
б) десятиугольника — \(1440^\circ\);
в) семнадцатиугольника — \(2700^\circ\).а) \(\angle D=\mathbf{110^\circ}\);
б) \(\angle C=\mathbf{135^\circ}\).
Решение
Сумма внутренних углов выпуклого \(n\)-угольника находится по формуле:
\[ S=(n-2)\cdot180^\circ. \]
1.
а) Для шестиугольника:
\[ S=(6-2)\cdot180^\circ=4\cdot180^\circ=720^\circ. \]
б) Для десятиугольника:
\[ S=(10-2)\cdot180^\circ=8\cdot180^\circ=1440^\circ. \]
в) Для семнадцатиугольника:
\[ S=(17-2)\cdot180^\circ=15\cdot180^\circ=2700^\circ. \]
2а
Сумма углов четырёхугольника равна:
\[ (4-2)\cdot180^\circ=360^\circ. \]
На рисунке \(\angle A=75^\circ\), \(\angle B=90^\circ\), \(\angle C=85^\circ\). Поэтому:
\[ \angle D=360^\circ-(75^\circ+90^\circ+85^\circ)=110^\circ. \]
Проверка:
\[ 75^\circ+90^\circ+85^\circ+110^\circ=360^\circ. \]
2б
Сумма углов пятиугольника:
\[ (5-2)\cdot180^\circ=540^\circ. \]
Известные углы: \(88^\circ\), \(97^\circ\), \(108^\circ\), \(112^\circ\). Тогда:
\[ \angle C=540^\circ-(88^\circ+97^\circ+108^\circ+112^\circ). \]
\[ \angle C=540^\circ-405^\circ=135^\circ. \]
Проверка:
\[ 88^\circ+97^\circ+108^\circ+112^\circ+135^\circ=540^\circ. \]
Обсуждение
4 сообщенияПоясни ответы
Конечно.
1. Сумма углов многоугольника
Чтобы найти сумму внутренних углов \(n\)-угольника, используют формулу:
\[ S=(n-2)\cdot180^\circ. \]
Почему именно так? Если провести диагонали из одной вершины, многоугольник разделится на \(n-2\) треугольника. В каждом треугольнике сумма углов равна \(180^\circ\).
а) Шестиугольник
Шестиугольник можно разделить на:
\[ 6-2=4 \]
треугольника. Поэтому:
\[ S=4\cdot180^\circ=720^\circ. \]
б) Десятиугольник
\[ 10-2=8 \]
треугольников:
\[ S=8\cdot180^\circ=1440^\circ. \]
в) Семнадцатиугольник
\[ 17-2=15 \]
треугольников:
\[ S=15\cdot180^\circ=2700^\circ. \]
2. Нахождение неизвестного угла
а) Четырёхугольник
Четырёхугольник состоит из двух треугольников, поэтому сумма его углов равна:
\[ S=(4-2)\cdot180^\circ=360^\circ. \]
Известные углы:
\[ 75^\circ,\quad 90^\circ,\quad 85^\circ. \]
Сначала найдём их сумму:
\[ 75^\circ+90^\circ+85^\circ=250^\circ. \]
Неизвестный угол дополняет эту сумму до \(360^\circ\):
\[ \angle D=360^\circ-250^\circ=110^\circ. \]
Ответ:
\[ \boxed{\angle D=110^\circ} \]
б) Пятиугольник
Пятиугольник можно разделить на:
\[ 5-2=3 \]
треугольника. Поэтому сумма его углов:
\[ S=3\cdot180^\circ=540^\circ. \]
Складываем известные углы:
\[ 88^\circ+97^\circ+108^\circ+112^\circ=405^\circ. \]
Неизвестный угол:
\[ \angle C=540^\circ-405^\circ=135^\circ. \]
Ответ:
\[ \boxed{\angle C=135^\circ} \]
Главное правило во второй задаче: сначала найти сумму всех углов многоугольника, затем вычесть сумму известных углов.
Объясни, почему формула содержит \(n-2\) треугольника
Потому что любой выпуклый \(n\)-угольник можно разделить на треугольники, проведя диагонали из одной вершины.
Представим, что выбрали одну вершину:
- к двум соседним вершинам провести диагонали нельзя — это уже стороны;
- к остальным \(n-3\) вершинам можно провести диагонали;
- каждая такая диагональ добавляет один треугольник.
Поэтому число треугольников равно:
\[ (n-3)+1=n-2. \]
Единица прибавляется потому, что сначала сам многоугольник уже является одной областью, а каждая проведённая диагональ разделяет одну область ещё на две.
Например, для шестиугольника:
\[ 6-3=3 \]
диагонали из одной вершины разделят его на:
\[ 3+1=4=6-2 \]
треугольника.
Так как сумма углов каждого треугольника равна \(180^\circ\), получаем формулу:
\[ S=(n-2)\cdot180^\circ. \]
