29
Краткий ответ:
а) \(\displaystyle \frac{a+4b}{2ab}\), \(a\ne0,\ b\ne0\);
б) \(\displaystyle \frac{3b-4c}{2b}\), \(b\ne0\);
в) \(\displaystyle \frac23\), \(a\ne2\);
г) \(\displaystyle \frac{5x}{6}\), \(y\ne-2\);
д) \(\displaystyle \frac1a\), \(a\ne0,\ a-3b\ne0\);
е) \(\displaystyle 3x\), \(x+5y\ne0\).
Решение:
Чтобы сократить дробь, сначала раскладываем числитель и знаменатель на множители. Сокращать можно только общие множители, а не отдельные слагаемые.
а)
\[
\frac{3a+12b}{6ab}
=\frac{3(a+4b)}{6ab}
=\frac{a+4b}{2ab}.
\]
б)
\[
\frac{15b-20c}{10b}
=\frac{5(3b-4c)}{10b}
=\frac{3b-4c}{2b}.
\]
в)
\[
\frac{2a-4}{3(a-2)}
=\frac{2(a-2)}{3(a-2)}
=\frac23.
\]
г)
\[
\frac{5x(y+2)}{6y+12}
=\frac{5x(y+2)}{6(y+2)}
=\frac{5x}{6}.
\]
д)
\[
\frac{a-3b}{a^2-3ab}
=\frac{a-3b}{a(a-3b)}
=\frac1a.
\]
е)
\[
\frac{3x^2+15xy}{x+5y}
=\frac{3x(x+5y)}{x+5y}
=3x.
\]
Проверка: в каждом примере умножение сокращённой дроби на отменённый общий множитель возвращает исходную дробь. Ограничения нужны потому, что исходный знаменатель не может быть равен нулю.
Обсуждение
2 сообщенияВ полном развёрнутым ответом
Конечно. Вот полное развёрнутое решение задания № 29.
При сокращении дробей сначала раскладываем числитель и знаменатель на множители. Сокращать можно только одинаковые множители, а не отдельные слагаемые.
а)
\[ \frac{3a+12b}{6ab} \]
Вынесем общий множитель \(3\) в числителе:
\[ 3a+12b=3(a+4b). \]
Тогда:
\[ \frac{3a+12b}{6ab} = \frac{3(a+4b)}{6ab}. \]
Представим \(6ab\) как \(3\cdot 2ab\):
\[ \frac{3(a+4b)}{3\cdot 2ab}. \]
Сократим общий множитель \(3\):
\[ \boxed{\frac{a+4b}{2ab}}. \]
Ограничения:
\[ a\ne0,\qquad b\ne0. \]
б)
\[ \frac{15b-20c}{10b} \]
Вынесем общий множитель \(5\) в числителе:
\[ 15b-20c=5(3b-4c). \]
Получаем:
\[ \frac{15b-20c}{10b} = \frac{5(3b-4c)}{10b}. \]
Представим знаменатель в виде \(5\cdot2b\):
\[ \frac{5(3b-4c)}{5\cdot2b}. \]
Сократим на \(5\):
\[ \boxed{\frac{3b-4c}{2b}}. \]
Ограничение:
\[ b\ne0. \]
в)
\[ \frac{2a-4}{3(a-2)} \]
В числителе вынесем общий множитель \(2\):
\[ 2a-4=2(a-2). \]
Тогда:
\[ \frac{2a-4}{3(a-2)} = \frac{2(a-2)}{3(a-2)}. \]
Сократим общий множитель \(a-2\):
\[ \boxed{\frac23}. \]
Но исходный знаменатель не должен быть равен нулю:
\[ 3(a-2)\ne0, \]
откуда
\[ a\ne2. \]
Ответ:
\[ \boxed{\frac23,\quad a\ne2}. \]
г)
\[ \frac{5x(y+2)}{6y+12} \]
Разложим знаменатель на множители:
\[ 6y+12=6(y+2). \]
Подставим:
\[ \frac{5x(y+2)}{6(y+2)}. \]
Сократим общий множитель \(y+2\):
\[ \boxed{\frac{5x}{6}}. \]
Ограничение на переменную находим из исходного знаменателя:
\[ 6(y+2)\ne0, \]
следовательно,
\[ y\ne-2. \]
Ответ:
\[ \boxed{\frac{5x}{6},\quad y\ne-2}. \]
д)
\[ \frac{a-3b}{a^2-3ab} \]
Разложим знаменатель на множители, вынеся \(a\):
\[ a^2-3ab=a(a-3b). \]
Тогда:
\[ \frac{a-3b}{a(a-3b)}. \]
Сократим общий множитель \(a-3b\):
\[ \boxed{\frac1a}. \]
Однако необходимо сохранить ограничения исходной дроби:
\[ a(a-3b)\ne0. \]
Значит,
\[ a\ne0,\qquad a-3b\ne0. \]
Итог:
\[ \boxed{\frac1a,\quad a\ne0,\quad a-3b\ne0}. \]
Важно: условие \(a-3b\ne0\) сохраняется, потому что в исходной дроби знаменатель не может быть равен нулю.
е)
\[ \frac{3x^2+15xy}{x+5y} \]
В числителе вынесем общий множитель \(3x\):
\[ 3x^2+15xy=3x(x+5y). \]
Получаем:
\[ \frac{3x(x+5y)}{x+5y}. \]
Сократим общий множитель \(x+5y\):
\[ \boxed{3x}. \]
Ограничение:
\[ x+5y\ne0. \]
Ответ:
\[ \boxed{3x,\quad x+5y\ne0}. \]
Итоговые ответы
\[ \boxed{\text{а) }\frac{a+4b}{2ab}},\qquad a\ne0,\ b\ne0; \]
\[ \boxed{\text{б) }\frac{3b-4c}{2b}},\qquad b\ne0; \]
\[ \boxed{\text{в) }\frac23},\qquad a\ne2; \]
\[ \boxed{\text{г) }\frac{5x}{6}},\qquad y\ne-2; \]
\[ \boxed{\text{д) }\frac1a},\qquad a\ne0,\ a-3b\ne0; \]
\[ \boxed{\text{е) }3x},\qquad x+5y\ne0. \]
