Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ:
\[
x=2 \quad \text{или} \quad x=3.
\]
Решение:
Разложим выражение на множители:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3), \]
потому что \(2\cdot3=6\), а \(2+3=5\).
Тогда:
\[ (x-2)(x-3)=0. \]
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:
\[ x-2=0 \Rightarrow x=2; \]
\[ x-3=0 \Rightarrow x=3. \]
Проверка:
\[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0; \]
\[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0. \]
Оба значения подходят.
Обсуждение
2 сообщенияНе очень понял. Объясни подробнее второй этап: откуда там x?
\(x\) ниоткуда не появляется — это неизвестное из исходного уравнения. При разложении оно просто выносится в скобки.
Разберём подробно:
\[ x^2-5x+6 \]
Найдём два числа, которые:
- в произведении дают \(6\);
- в сумме дают \(-5\).
Это числа \(-2\) и \(-3\):
\[ (-2)\cdot(-3)=6,\qquad -2+(-3)=-5. \]
Заменим \(-5x\) на \(-2x-3x\):
\[ x^2-5x+6=x^2-2x-3x+6. \]
Теперь сгруппируем:
\[ x^2-2x-3x+6=x(x-2)-3(x-2). \]
Здесь \(x\) появился потому, что \(x^2=x\cdot x\):
\[ x^2-2x=x(x-2). \]
В обеих частях есть общая скобка \((x-2)\), выносим её:
\[ x(x-2)-3(x-2)=(x-2)(x-3). \]
Поэтому уравнение принимает вид:
\[ (x-2)(x-3)=0. \]
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
\[ x-2=0 \Rightarrow x=2, \]
или
\[ x-3=0 \Rightarrow x=3. \]
Ответ:
\[ \boxed{x=2;\ x=3}. \]
