Реши задание на изображении
Краткий ответ: \[ \frac{3}{\sqrt5-\sqrt2}=\sqrt5+\sqrt2. \]
Решение:
Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \(\sqrt5+\sqrt2\):
\[ \frac{3}{\sqrt5-\sqrt2}\cdot \frac{\sqrt5+\sqrt2}{\sqrt5+\sqrt2} = \frac{3(\sqrt5+\sqrt2)} {(\sqrt5-\sqrt2)(\sqrt5+\sqrt2)}. \]
В знаменателе применяем формулу разности квадратов:
\[ (\sqrt5)^2-(\sqrt2)^2=5-2=3. \]
Тогда
\[ \frac{3(\sqrt5+\sqrt2)}{3} =\sqrt5+\sqrt2. \]
Проверка:
\[ (\sqrt5+\sqrt2)(\sqrt5-\sqrt2)=5-2=3, \]
значит результат верный.
Обсуждение
4 сообщенияВ числителе три в знаменателе в четвёртой степени подкоренное выражение ровно пять минус четвертая степень подкоренное выражение два
Понял, я неверно прочитал степень корня. Нужно вычислить:
\[ \frac{3}{\sqrt[4]{5}-\sqrt[4]{2}}. \]
Обозначим \(a=\sqrt[4]{5}\), \(b=\sqrt[4]{2}\). Умножим на сопряжённое выражение:
\[ \frac{3}{a-b}\cdot\frac{(a+b)(a^2+b^2)}{(a+b)(a^2+b^2)}. \]
Так как
\[ (a-b)(a+b)(a^2+b^2)=a^4-b^4=5-2=3, \]
то
\[ \frac{3}{a-b}=(a+b)(a^2+b^2). \]
Возвращаем корни:
\[ \boxed{\frac{3}{\sqrt[4]{5}-\sqrt[4]{2}} =(\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{2})(\sqrt5+\sqrt2)}. \]
Объясни подробнее
Разберём подробно выражение
\[ \frac{3}{\sqrt[4]{5}-\sqrt[4]{2}}. \]
1. Обозначим корни буквами
Пусть
\[ a=\sqrt[4]{5}, \qquad b=\sqrt[4]{2}. \]
Тогда выражение принимает вид
\[ \frac{3}{a-b}. \]
Нужно преобразовать знаменатель так, чтобы он стал равен числителю \(3\).
2. Используем разность четвёртых степеней
Из формулы
\[ a^4-b^4=(a-b)(a+b)(a^2+b^2) \]
следует, что к знаменателю нужно добавить множители
\[ (a+b)(a^2+b^2). \]
Умножим дробь на единицу:
\[ \frac{3}{a-b}\cdot \frac{(a+b)(a^2+b^2)} {(a+b)(a^2+b^2)}. \]
3. Преобразуем знаменатель
\[ (a-b)(a+b)(a^2+b^2) =(a^2-b^2)(a^2+b^2) =a^4-b^4. \]
Так как
\[ a^4=5,\qquad b^4=2, \]
то
\[ a^4-b^4=5-2=3. \]
Поэтому получаем:
\[ \frac{3(a+b)(a^2+b^2)}{3}. \]
Сокращаем на \(3\):
\[ (a+b)(a^2+b^2). \]
4. Возвращаем корни
\[ a+b=\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{2}, \]
а
\[ a^2+b^2=\sqrt5+\sqrt2. \]
Итак,
\[ \boxed{ \frac{3}{\sqrt[4]{5}-\sqrt[4]{2}} = (\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{2})(\sqrt5+\sqrt2) }. \]
Главная идея: сначала домножаем на сопряжённое выражение, а затем ещё на сумму квадратов, чтобы получить разность четвёртых степеней:
\[ 5-2=3. \]
