реши через дискриминант
Решение иррационального уравнения
Мне нужно решить уравнение \(5\sqrt{x+3} + x + 3 = 6\) с помощью метода дискриминанта. Сначала я выполню замену \(t = \sqrt{x+3}\), что приводит к уравнению \(5t + t^2 = 6\). Это упрощается до \(t^2 + 5t - 6 = 0\). Дискриминант \(D\) равен \(49\), что даёт корни \(t = 1\) (поскольку \(t \geq 0\)). После проверки области определения \(x \geq -3\) получаем \(x = -2\). В заключение я предложу похожее уравнение для следующего решения.
Разбор и решение уравнения
Я думаю, что решение — \(x = -2\), но мне нужно уточнить радикал в уравнении. Похоже, что знак радикала начинается над \(x\) и охватывает \(x + 3\). Судя по изображению, это подтверждает уравнение \(5\sqrt{x+3} + x + 3 = 6\). Я также могу выполнить замену \(t = \sqrt{x + 3}\), где \(t \ge 0\). Мне нужно убедиться, что я чётко проанализирую изображение, чтобы компоненты были точно представлены в моём итоговом объяснении.
Краткий ответ: \(\boxed{x=-2}\).
Решим заменой, чтобы получить квадратное уравнение:
\[ 5\sqrt{x+3}+x+3=6. \]
Пусть
\[ t=\sqrt{x+3}, \qquad t\ge 0. \]
Тогда \(t^2=x+3\), и уравнение принимает вид:
\[ 5t+t^2=6, \]
\[ t^2+5t-6=0. \]
Находим дискриминант:
\[ D=5^2-4\cdot1\cdot(-6)=25+24=49. \]
Корни:
\[ t_{1,2}=\frac{-5\pm\sqrt{49}}{2} =\frac{-5\pm7}{2}. \]
\[ t_1=1,\qquad t_2=-6. \]
Так как \(t=\sqrt{x+3}\ge0\), корень \(t=-6\) не подходит. Остаётся:
\[ \sqrt{x+3}=1, \]
\[ x+3=1,\qquad x=-2. \]
Проверка:
\[ 5\sqrt{-2+3}+(-2)+3=5\cdot1+1=6. \]
Ответ верный: \(\boxed{x=-2}\).
