Вариант 2

1. Упростите выражения

а) \(\displaystyle \frac{3a^2-b^2}{2a-b}\)

Проверим, есть ли общий множитель у числителя и знаменателя.

Числитель:

\[ 3a^2-b^2 \]

не раскладывается на множители, содержащие \(2a-b\). Поэтому сократить дробь нельзя.

Ответ:

\[ \boxed{\frac{3a^2-b^2}{2a-b}},\qquad 2a-b\ne0. \]

---

б) \(\displaystyle (-x^4)^3\cdot x^3:(3x)^4\)

Знак «\(:\)» означает деление:

\[ (-x^4)^3\cdot x^3:(3x)^4 = \frac{(-x^4)^3\cdot x^3}{(3x)^4}. \]

Используем свойства степеней:

\[ (-x^4)^3=-x^{12}, \]

так как нечётная степень сохраняет знак «минус», а

\[ (3x)^4=3^4x^4=81x^4. \]

Тогда

\[ \frac{(-x^4)^3\cdot x^3}{(3x)^4} = \frac{-x^{12}\cdot x^3}{81x^4}. \]

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:

\[ -x^{12}\cdot x^3=-x^{15}. \]

Получаем:

\[ \frac{-x^{15}}{81x^4} = -\frac{x^{15-4}}{81} = -\frac{x^{11}}{81}. \]

Ответ:

\[ \boxed{-\frac{x^{11}}{81}},\qquad x\ne0. \]

---

в) \(\displaystyle 2\sqrt{27}+4\sqrt{16}-3\sqrt{12}\)

Разложим подкоренные выражения на полный квадрат и число:

\[ 27=9\cdot3,\qquad 16=4^2,\qquad 12=4\cdot3. \]

Тогда

\[ \sqrt{27}=\sqrt{9\cdot3}=3\sqrt3, \]

\[ \sqrt{16}=4, \]

\[ \sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt3. \]

Подставим:

\[ 2\sqrt{27}+4\sqrt{16}-3\sqrt{12} = 2\cdot3\sqrt3+4\cdot4-3\cdot2\sqrt3. \]

Раскроем умножение:

\[ =6\sqrt3+16-6\sqrt3. \]

Подобные слагаемые с корнями уничтожаются:

\[ 6\sqrt3-6\sqrt3=0. \]

Следовательно,

\[ \boxed{16}. \]

---

2. Решите неравенства

а) \(6x+1<13\)

Перенесём \(1\) в правую часть:

\[ 6x<13-1, \]

\[ 6x<12. \]

Разделим обе части неравенства на положительное число \(6\). Знак неравенства не изменится:

\[ x<2. \]

Ответ:

\[ \boxed{x<2}. \]

Или в виде промежутка:

\[ \boxed{x\in(-\infty;2)}. \]

---

б) \(3x+2(x-7)\le3+7x\)

Раскроем скобки:

\[ 3x+2x-14\le3+7x. \]

Приведём подобные слагаемые:

\[ 5x-14\le3+7x. \]

Перенесём слагаемые с \(x\) в правую часть, а числа — в левую:

\[ -14-3\le7x-5x. \]

\[ -17\le2x. \]

Разделим обе части на \(2\):

\[ -\frac{17}{2}\le x. \]

Запишем в привычном порядке:

\[ \boxed{x\ge-\frac{17}{2}}. \]

Или:

\[ \boxed{x\in\left[-\frac{17}{2};+\infty\right)}. \]

---

3. Решите уравнение

\[ x^2-9x+14=0. \]

Это квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

\[ D=b^2-4ac, \]

где

\[ a=1,\qquad b=-9,\qquad c=14. \]

Тогда

\[ D=(-9)^2-4\cdot1\cdot14 =81-56 =25. \]

Так как \(D>0\), уравнение имеет два корня:

\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}. \]

Подставим значения:

\[ x_{1,2}=\frac{9\pm\sqrt{25}}{2} =\frac{9\pm5}{2}. \]

Первый корень:

\[ x_1=\frac{9-5}{2}=\frac42=2. \]

Второй корень:

\[ x_2=\frac{9+5}{2}=\frac{14}{2}=7. \]

Ответ:

\[ \boxed{x_1=2,\qquad x_2=7}. \]

Проверка:

\[ 2^2-9\cdot2+14=4-18+14=0, \]

\[ 7^2-9\cdot7+14=49-63+14=0. \]

---

4. Упростите выражение

\[ \frac{3x}{2x^2-6x}: \left( \frac{x^2}{x^2-9}-\frac{x}{x+3} \right). \]

Шаг 1. Найдём ОДЗ

Знаменатели не должны быть равны нулю:

\[ 2x^2-6x\ne0, \]

\[ x^2-9\ne0, \]

\[ x+3\ne0. \]

Разложим выражения:

\[ 2x^2-6x=2x(x-3), \]

\[ x^2-9=(x-3)(x+3). \]

Отсюда:

\[ x\ne0,\qquad x\ne3,\qquad x\ne-3. \]

Кроме того, всё выражение в скобках является делителем, поэтому оно также не должно быть равно нулю. Это проверим при преобразовании.

Итак,

\[ x\ne-3,\quad x\ne0,\quad x\ne3. \]

---

Шаг 2. Упростим первую дробь

\[ \frac{3x}{2x^2-6x} = \frac{3x}{2x(x-3)}. \]

Так как \(x\ne0\), сокращаем на \(x\):

\[ \frac{3x}{2x(x-3)} = \frac{3}{2(x-3)}. \]

---

Шаг 3. Упростим выражение в скобках

\[ \frac{x^2}{x^2-9}-\frac{x}{x+3}. \]

Разложим разность квадратов:

\[ x^2-9=(x-3)(x+3). \]

Получаем:

\[ \frac{x^2}{(x-3)(x+3)}-\frac{x}{x+3}. \]

Приведём дроби к общему знаменателю \((x-3)(x+3)\):

\[ \frac{x^2}{(x-3)(x+3)} - \frac{x(x-3)}{(x-3)(x+3)}. \]

Объединим дроби:

\[ \frac{x^2-x(x-3)}{(x-3)(x+3)}. \]

Раскроем скобки в числителе:

\[ x^2-x(x-3)=x^2-x^2+3x=3x. \]

Следовательно,

\[ \frac{x^2}{x^2-9}-\frac{x}{x+3} = \frac{3x}{(x-3)(x+3)}. \]

При \(x\ne0\) эта дробь не равна нулю, поэтому деление допустимо.

---

Шаг 4. Выполним деление дробей

Теперь выражение имеет вид:

\[ \frac{3}{2(x-3)} : \frac{3x}{(x-3)(x+3)}. \]

Деление заменяем умножением на обратную дробь:

\[ \frac{3}{2(x-3)} \cdot \frac{(x-3)(x+3)}{3x}. \]

Сократим \(3\) и \(x-3\):

\[ \frac{x+3}{2x}. \]

Ответ:

\[ \boxed{\frac{x+3}{2x}}, \]

при ограничениях

\[ \boxed{x\ne-3,\quad x\ne0,\quad x\ne3}. \]