5 и 6

Краткий ответ:

5) \(m=\pm12,\quad n=\pm7\).

6) \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}=(1;-1)\), поэтому векторы равны.

5. Нахождение \(m\) и \(n\)

Длина вектора \((x;y)\) вычисляется по формуле:

\[ |\vec v|=\sqrt{x^2+y^2}. \]

Для \(\vec a=(5;m)\):

\[ \sqrt{5^2+m^2}=13, \]

\[ 25+m^2=169, \]

\[ m^2=144 \quad\Rightarrow\quad m=\pm12. \]

Для \(\vec b=(n;24)\):

\[ \sqrt{n^2+24^2}=25, \]

\[ n^2+576=625, \]

\[ n^2=49 \quad\Rightarrow\quad n=\pm7. \]

Проверка:

\[ \sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13, \qquad \sqrt{7^2+24^2}=\sqrt{625}=25. \]

6. Доказательство равенства векторов

Координаты вектора находятся так:

\[ \overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;\ y_B-y_A). \]

Тогда

\[ \overrightarrow{AB}=(1-0;\ 0-1)=(1;-1), \]

\[ \overrightarrow{CD}=(2-1;\ 1-2)=(1;-1). \]

Координаты совпадают, значит,

\[ \boxed{\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}}. \]