Реши задание на изображении
На фото два задания.
Краткий ответ
№ 2:
- \(\vec a_2=2\vec a_1\): направление то же, длина в 2 раза больше.
- \(\vec a_3=-0{,}5\vec a_1\): направление противоположное, длина в 2 раза меньше.
№ 1 (если дано \(|\vec a|=|\vec b|=a\)):
- а) \(|\vec a+\vec b|=0 \Rightarrow \varphi=180^\circ\);
- б) \(|\vec a+\vec b|=2a \Rightarrow \varphi=0^\circ\);
- в) \(|\vec a+\vec b|=a \Rightarrow \varphi=120^\circ\).
№ 2. Построение векторов
Пусть длина \(\vec a_1\) равна \(L\).
При умножении на положительное число направление сохраняется: \[ \vec a_2=2\vec a_1. \] Поэтому \(\vec a_2\) направлен вправо и имеет длину \(2L\).
Минус меняет направление на противоположное, а число \(0{,}5\) уменьшает длину в два раза: \[ \vec a_3=-0{,}5\vec a_1. \] Поэтому \(\vec a_3\) направлен влево и имеет длину \(\frac L2\).
№ 1. Угол между векторами
Используем формулу: \[ |\vec a+\vec b|^2 =|\vec a|^2+|\vec b|^2 +2|\vec a||\vec b|\cos\varphi. \]
Так как \(|\vec a|=|\vec b|=a\), получаем: \[ |\vec a+\vec b|^2=2a^2(1+\cos\varphi). \]
а) \(|\vec a+\vec b|=0\)
\[ 0=2a^2(1+\cos\varphi), \] \[ \cos\varphi=-1, \qquad \boxed{\varphi=180^\circ}. \]
Векторы направлены противоположно и сокращают друг друга.
б) \(|\vec a+\vec b|=2a\)
\[ (2a)^2=2a^2(1+\cos\varphi), \] \[ 4a^2=2a^2(1+\cos\varphi), \] \[ \cos\varphi=1, \qquad \boxed{\varphi=0^\circ}. \]
Векторы направлены одинаково.
в) \(|\vec a+\vec b|=a\)
\[ a^2=2a^2(1+\cos\varphi), \] \[ 1=2(1+\cos\varphi), \] \[ \cos\varphi=-\frac12, \qquad \boxed{\varphi=120^\circ}. \]
Проверка: при \(0^\circ\) сумма максимальна \(2a\), при \(180^\circ\) равна нулю — ответы согласуются с рисунком и формулой.
В №1 дано, что длины обоих векторов равны \(a\)?
