Реши примеры
Краткий ответ
1. Упростите выражение
а) \(a^2-3ac-3c^2\);
б) \(3x^2+5y^2\);
в) \(3b^2+b+12\);
г) \(2p^2-19p+32\).а) \(5x^2+bx+2b^2\);
б) \(-5c-9\);
в) \(2y^2-13y\);
г) \(3a-11\).
2. Преобразуйте в многочлен
а) \(3a^2-6a-16\);
б) \(22x^2-48x+9\).а) \(3a-25\);
б) \(2p^2+4p+3\).а) \(5b^2+12b\);
б) \(2a^2+2x^2\).а) \(-5x^2-20x+75\);
б) \(2x^2+4x+2\).
3. Найдите значение
а) \(-28{,}6\);
б) \(-4{,}8\).
Ключевые шаги
При раскрытии скобок используем распределительное свойство:
\[
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd.
\]
1. Упростите выражение
\[ \begin{aligned} 1а)\;&(2a+c)(a-3c)+a(2c-a)\\ &=2a^2-5ac-3c^2+2ac-a^2\\ &=a^2-3ac-3c^2. \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} 1б)\;&(3x+y)(x+y)-4y(x-y)\\ &=3x^2+4xy+y^2-4xy+4y^2\\ &=3x^2+5y^2. \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} 1в)\;&2b(b+4)+(b-3)(b-4)\\ &=2b^2+8b+b^2-7b+12\\ &=3b^2+b+12. \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} 1г)\;&3p(p-5)-(p-4)(p+8)\\ &=3p^2-15p-(p^2+4p-32)\\ &=2p^2-19p+32. \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} 2а)\;&(2x-b)(3x+b)+(3b-x)(b+x)\\ &=(6x^2-bx-b^2)+(3b^2+2bx-x^2)\\ &=5x^2+bx+2b^2. \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} 2б)\;&(c+2)(c-3)-(c+1)(c+3)\\ &=(c^2-c-6)-(c^2+4c+3)\\ &=-5c-9. \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} 2в)\;&(y-10)(y-2)+(y+4)(y-5)\\ &=(y^2-12y+20)+(y^2-y-20)\\ &=2y^2-13y. \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} 2г)\;&(a-5)(a+1)-(a-6)(a-1)\\ &=(a^2-4a-5)-(a^2-7a+6)\\ &=3a-11. \end{aligned} \]
2. Преобразуйте в многочлен
Используем формулы: \[ (u-v)(u+v)=u^2-v^2,\qquad (u\pm v)^2=u^2\pm2uv+v^2. \]
\[ \begin{aligned} 1а)\;&(a-4)(a+4)-2a(3-a)\\ &=a^2-16-6a+2a^2\\ &=3a^2-6a-16. \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} 1б)\;&(4x-3)^2-6x(4-x)\\ &=16x^2-24x+9-24x+6x^2\\ &=22x^2-48x+9. \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} 2а)\;&(a-8)(a-7)-(a-9)^2\\ &=(a^2-15a+56)-(a^2-18a+81)\\ &=3a-25. \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} 2б)\;&(p+3)(p-11)+(p+6)^2\\ &=(p^2-8p-33)+(p^2+12p+36)\\ &=2p^2+4p+3. \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} 3а)\;&(b+3)(b-3)+(2b+3)^2\\ &=b^2-9+4b^2+12b+9\\ &=5b^2+12b. \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} 3б)\;&(a-x)^2+(a+x)^2\\ &=(a^2-2ax+x^2)+(a^2+2ax+x^2)\\ &=2a^2+2x^2. \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} 4а)\;&3(x-5)^2+10x-8x^2\\ &=3(x^2-10x+25)+10x-8x^2\\ &=-5x^2-20x+75. \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} 4б)\;&2(x+6)^2-(20x+70)\\ &=2(x^2+12x+36)-20x-70\\ &=2x^2+4x+2. \end{aligned} \]
3. Подстановка значений
а) Сначала упростим выражение: \[ \begin{aligned} &(2+3x)(5-x)-(2-3x)(5+x)\\ &=(10+13x-3x^2)-(10-13x-3x^2)\\ &=26x. \end{aligned} \] При \(x=-1{,}1\): \[ 26\cdot(-1{,}1)=-28{,}6. \]
б) Используем разность квадратов: \[ (3a+b)^2-(3a-b)^2=12ab. \] Так как \(a=1\frac13=\frac43\), \(b=-0{,}3\), получаем: \[ 12\cdot\frac43\cdot(-0{,}3)=-4{,}8. \]
Проверка: упрощённые выражения в пункте 3 дают именно полученные значения после подстановки.
