Реши задание на изображении

Краткие ответы для полностью видимых заданий 24–31:

24.
а) \((x,y)=(4,2)\);
б) \((a,b)=(9,7)\);
в) \((x,y)=(60,30)\);
г) \((a,b)=(-3,4)\).

25.
а) решений нет, \(\varnothing\);
б) бесконечно много решений: \[ x=3+\frac34t,\quad y=t,\quad t\in\mathbb R. \]

26. а) \(3\); б) \(\frac{17}{2}\); в) \(0\); г) \(\frac{77}{135}\).

27. а) \(2\sqrt3\); б) \(3a\sqrt{6a}\); в) \(2|z|\sqrt2\); г) \(7\sqrt d\).

28. а) \(\sqrt{20}\); б) \(-\sqrt{3b^2}\); в) \(\sqrt{147a}\); г) \(-\sqrt{2a^2}\).

29. а) \(6\sqrt5\); б) \(-8\sqrt a\); в) \(8\sqrt3\); г) \(7{,}8\sqrt{5m}\).

30. а) \(1\); б) \(0\).

31. а) \(-2a\); б) \(a^3-b^2\).

Решение

24. Системы уравнений

а) \[ \begin{cases} 5x-3y=14,\\ 2x+y=10. \end{cases} \] Из второго уравнения: \[ y=10-2x. \] Подставим: \[ 5x-3(10-2x)=14, \] \[ 11x=44,\quad x=4,\quad y=2. \]

б) \[ \begin{cases} 3a+4b=55,\\ 7a-b=56. \end{cases} \] Из второго: \[ b=7a-56. \] Тогда \[ 3a+4(7a-56)=55, \] \[ 31a=279,\quad a=9,\quad b=7. \]

в) Вычтем первое уравнение из второго: \[ (4x-5y)-(4x-7y)=90-30, \] \[ 2y=60,\quad y=30. \] Тогда \[ 4x-5\cdot30=90,\quad 4x=240,\quad x=60. \]

г) Умножим первое уравнение на \(2\), второе — на \(3\): \[ \begin{cases} -4a+6b=36,\\ 9a+6b=-3. \end{cases} \] Вычитаем: \[ 13a=-39,\quad a=-3. \] Подставляем: \[ 3(-3)+2b=-1,\quad b=4. \]

Проверка: найденные значения при подстановке дают соответственно правые части всех уравнений.

25. Системы

а) \[ \begin{cases} 4x+5y=1,\\ 2x+2{,}5y=5. \end{cases} \] Левая часть второго уравнения в два раза меньше левой части первого: \[ 2x+2{,}5y=\frac12(4x+5y). \] Если \(4x+5y=1\), то вторая левая часть равна \(\frac12\), а по условию должна быть равна \(5\). Поэтому решений нет.

б) \[ \begin{cases} 4x-3y=12,\\ \frac43x-y=4. \end{cases} \] Умножим второе уравнение на \(3\): \[ 4x-3y=12. \] Уравнения совпадают, поэтому решений бесконечно много: \[ y=t,\qquad x=3+\frac34t. \]

26. Вычисления

а) \[ 5-\frac{13}{7}\sqrt{1\frac{27}{169}} =5-\frac{13}{7}\sqrt{\frac{196}{169}} \] \[ =5-\frac{13}{7}\cdot\frac{14}{13}=5-2=3. \]

б) \[ \sqrt{\frac{165^2-124^2}{164}} =\sqrt{\frac{(165-124)(165+124)}{164}} \] \[ =\sqrt{\frac{41\cdot289}{4\cdot41}} =\sqrt{\frac{17^2}{4}} =\frac{17}{2}. \]

в) \[ 4-\frac74\sqrt{5\frac{11}{49}} =4-\frac74\sqrt{\frac{256}{49}} \] \[ =4-\frac74\cdot\frac{16}{7}=4-4=0. \]

г) \[ \sqrt{\frac{145{,}5^2-96{,}5^2}{193{,}5^2-31{,}5^2}} \] \[ =\sqrt{\frac{49\cdot242}{162\cdot225}} =\sqrt{\frac{7^2\cdot11^2}{9^2\cdot15^2}} =\frac{77}{135}. \]

27. Вынесение множителя из-под корня

Используем правило: \[ \sqrt{u^2}=|u|. \]

\[ \sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt3. \]

Так как для действительного значения \(\sqrt{54a^3}\) необходимо \(a\ge0\): \[ \sqrt{54a^3} =\sqrt{9a^2\cdot6a} =3a\sqrt{6a}. \]

\[ \sqrt{8z^2} =\sqrt{4\cdot2\cdot z^2} =2|z|\sqrt2. \]

\[ \sqrt{49d}=7\sqrt d. \]

28. Внесение множителя под корень

Если множитель положительный: \[ c\sqrt A=\sqrt{c^2A}. \] Если множитель отрицательный, знак «минус» остаётся снаружи.

\[ 2\sqrt5=\sqrt{4\cdot5}=\sqrt{20}. \]

Так как \(b<0\): \[ b\sqrt3=-\sqrt{3b^2}. \]

\[ 7\sqrt{3a}=\sqrt{49\cdot3a}=\sqrt{147a}. \]

Так как \(a>0\), множитель \(-a\) отрицательный: \[ -a\sqrt2=-\sqrt{2a^2}. \]

29. Упрощение выражений

а) \[ 2\sqrt{125}+2\sqrt{20}-2\sqrt{80} \] \[ =2\cdot5\sqrt5+2\cdot2\sqrt5-2\cdot4\sqrt5 =6\sqrt5. \]

б) \[ \sqrt{9a}-\sqrt{25a}-\sqrt{36a} =3\sqrt a-5\sqrt a-6\sqrt a =-8\sqrt a. \]

в) \[ 5\sqrt{12}-2\sqrt{48}+2\sqrt{27} \] \[ =5\cdot2\sqrt3-2\cdot4\sqrt3+2\cdot3\sqrt3 =8\sqrt3. \]

г) \[ 0{,}1\sqrt{5m}-\sqrt{0{,}45m}+2\sqrt{80m}. \] Так как \[ 0{,}45m=0{,}09\cdot5m,\qquad 80m=16\cdot5m, \] получаем: \[ 0{,}1\sqrt{5m}-0{,}3\sqrt{5m}+8\sqrt{5m} =7{,}8\sqrt{5m}. \]

30. Корень из квадрата

\[ \sqrt{u^2}=|u|. \]

а) Так как \(2<\sqrt7<3\): \[ \sqrt{(\sqrt7-2)^2}+\sqrt{(\sqrt7-3)^2} \] \[ =|\sqrt7-2|+|\sqrt7-3| =(\sqrt7-2)+(3-\sqrt7)=1. \]

б) \[ \sqrt{(\sqrt{12}-4)^2}-2\sqrt{(2-\sqrt3)^2}. \] Так как \(\sqrt{12}=2\sqrt3<4\), а \(2-\sqrt3>0\): \[ (4-2\sqrt3)-2(2-\sqrt3)=0. \]

31. Учитываем знаки переменных

а)
\[ \sqrt{\frac{25}{a^2b^2}}=\frac5{|ab|}. \] При \(a>0,\ b<0\) произведение \(ab<0\), поэтому \(|ab|=-ab\): \[ 0{,}4a^2b\cdot\frac5{-ab} =-2a. \]

б) При \(a<0,\ b>0\): \[ \sqrt{\frac{b^6}{a^2}}=\frac{b^3}{-a}, \qquad \sqrt{\frac{a^6}{b^2}}=\frac{-a^3}{b}. \] Тогда \[ \frac ab\cdot\frac{b^3}{-a} -b\cdot\frac{-a^3}{b} =-b^2+a^3 =a^3-b^2. \]