Помоги уровень А

Решаем все задания уровня А: № 42–43.

Краткие ответы

42.
а) \(360^\circ\);
б) нет;
в) 1) неверно; 2) неверно, сумма равна \(540^\circ\);
г) 1) \(540^\circ\); 2) \(1440^\circ\);
д) 1) \(7\) сторон; 2) \(32\) стороны.

43.
а) 1) \(3\) стороны; 2) \(4\) стороны;
б) \(\angle B=140^\circ,\ \angle D=100^\circ\);
в) 1) наименьший \(40^\circ\), наибольший \(140^\circ\); 2) наименьший \(54^\circ\), наибольший \(126^\circ\);
г) 1) \(900^\circ\); 2) \(1440^\circ\);
д) таких выпуклых пятиугольников не существует.

Основной принцип

Сумма углов выпуклого \(n\)-угольника вычисляется по формуле:

\[ S=(n-2)\cdot 180^\circ. \]

Задание 42

а) Диагональ делит выпуклый четырёхугольник на два треугольника. Поэтому:

\[ S=180^\circ+180^\circ=360^\circ. \]

б) Нет. Если все четыре угла тупые, то каждый из них больше \(90^\circ\). Тогда их сумма была бы больше:

\[ 4\cdot90^\circ=360^\circ, \]

а сумма углов четырёхугольника равна ровно \(360^\circ\).

в)

1. Утверждение неверно, так как сумма зависит от числа сторон:

\[ S=(n-2)\cdot180^\circ. \]

2. Для пятиугольника:

\[ S=(5-2)\cdot180^\circ=540^\circ, \]

а не \(720^\circ\).

г) При увеличении числа сторон на \(k\) сумма углов увеличивается на:

\[ 180^\circ k. \]

1. При увеличении на 3:

\[ 180^\circ\cdot3=540^\circ. \]

2. При увеличении на 8:

\[ 180^\circ\cdot8=1440^\circ. \]

д) Выразим число сторон:

\[ n=\frac{S}{180^\circ}+2. \]

1. При \(S=900^\circ\):

\[ n=\frac{900^\circ}{180^\circ}+2=5+2=7. \]

2. При \(S=5400^\circ\):

\[ n=\frac{5400^\circ}{180^\circ}+2=30+2=32. \]

Задание 43

а) Если все углы равны \(\alpha\), то:

\[ n\alpha=(n-2)\cdot180^\circ. \]

1. При \(\alpha=60^\circ\):

\[ 60n=180n-360, \]

\[ 120n=360,\qquad n=3. \]

2. При \(\alpha=90^\circ\):

\[ 90n=180n-360, \]

\[ 90n=360,\qquad n=4. \]

б) Сумма углов четырёхугольника равна \(360^\circ\):

\[ 60^\circ+\angle B+60^\circ+\angle D=360^\circ. \]

Значит,

\[ \angle B+\angle D=240^\circ. \]

Пусть \(\angle D=x\), тогда \(\angle B=1{,}4x\). Получаем:

\[ x+1{,}4x=240^\circ, \]

\[ 2{,}4x=240^\circ,\qquad x=100^\circ. \]

Следовательно,

\[ \angle D=100^\circ,\qquad \angle B=140^\circ. \]

в) Сумма коэффициентов отношения должна соответствовать \(360^\circ\).

1. Отношение \(2:4:5:7\):

\[ 2+4+5+7=18,\qquad 360^\circ:18=20^\circ. \]

Углы:

\[ 40^\circ,\ 80^\circ,\ 100^\circ,\ 140^\circ. \]

Наименьший угол — \(40^\circ\), наибольший — \(140^\circ\).

2. Отношение \(3:7:4:6\):

\[ 3+7+4+6=20,\qquad 360^\circ:20=18^\circ. \]

Углы:

\[ 54^\circ,\ 126^\circ,\ 72^\circ,\ 108^\circ. \]

Наименьший угол — \(54^\circ\), наибольший — \(126^\circ\).

г)

1. Для семиугольника:

\[ S=(7-2)\cdot180^\circ=900^\circ. \]

2. Для десятиугольника:

\[ S=(10-2)\cdot180^\circ=1440^\circ. \]

д) Сумма углов пятиугольника равна:

\[ (5-2)\cdot180^\circ=540^\circ. \]

1. Отношение \(1:1:2:2:3\). Сумма частей:

\[ 1+1+2+2+3=9. \]

Одна часть:

\[ 540^\circ:9=60^\circ. \]

Углы:

\[ 60^\circ,\ 60^\circ,\ 120^\circ,\ 120^\circ,\ 180^\circ. \]

Угол \(180^\circ\) невозможен в выпуклом пятиугольнике, поэтому такого пятиугольника нет.

2. Отношение \(1:2:2:2:6\). Сумма частей:

\[ 1+2+2+2+6=13. \]

Одна часть:

\[ \frac{540^\circ}{13}. \]

Последний угол:

\[ 6\cdot\frac{540^\circ}{13}=\frac{3240^\circ}{13}\approx249{,}2^\circ, \]

что больше \(180^\circ\). Поэтому такого выпуклого пятиугольника тоже не существует.