Реши задание на изображении
Краткий ответ:
- \(\cos45^\circ+\cos135^\circ=0\)
- \(\sin120^\circ\cdot\cos60^\circ=\dfrac{\sqrt3}{4}\)
- \(\tg120^\circ-\tg60^\circ=-2\sqrt3\)
- \(\cos150^\circ-\cos30^\circ=-\sqrt3\)
- \(\sin150^\circ\cdot\sin120^\circ=\dfrac{\sqrt3}{4}\)
Решение
Используем формулы:
\[ \sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha, \]
\[ \cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha, \]
\[ \tg(180^\circ-\alpha)=-\tg\alpha. \]
Из таблицы значений:
\[ \sin30^\circ=\frac12,\quad \sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2},\quad \cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}, \]
\[ \cos45^\circ=\frac{\sqrt2}{2},\quad \tg60^\circ=\sqrt3,\quad \cos60^\circ=\frac12. \]
- Так как \(135^\circ=180^\circ-45^\circ\),
\[ \cos135^\circ=-\cos45^\circ=-\frac{\sqrt2}{2}. \]
Тогда
\[ \cos45^\circ+\cos135^\circ =\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}=0. \]
- Так как \(120^\circ=180^\circ-60^\circ\),
\[ \sin120^\circ=\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}. \]
Следовательно,
\[ \sin120^\circ\cdot\cos60^\circ =\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac12 =\frac{\sqrt3}{4}. \]
3.
\[ \tg120^\circ=\tg(180^\circ-60^\circ)=-\tg60^\circ=-\sqrt3. \]
Поэтому
\[ \tg120^\circ-\tg60^\circ =-\sqrt3-\sqrt3=-2\sqrt3. \]
4.
\[ \cos150^\circ=\cos(180^\circ-30^\circ) =-\cos30^\circ=-\frac{\sqrt3}{2}. \]
Тогда
\[ \cos150^\circ-\cos30^\circ =-\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\sqrt3}{2} =-\sqrt3. \]
5.
\[ \sin150^\circ=\sin(180^\circ-30^\circ)=\sin30^\circ=\frac12, \]
\[ \sin120^\circ=\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}. \]
Значит,
\[ \sin150^\circ\cdot\sin120^\circ =\frac12\cdot\frac{\sqrt3}{2} =\frac{\sqrt3}{4}. \]
Проверка знаков: в пунктах 2 и 5 произведения положительны, в пунктах 3 и 4 результаты отрицательны, что соответствует знакам тригонометрических функций во II четверти.
