Реши
Краткий ответ:
- \(\displaystyle F(x)=x^4+C\)
- \(\displaystyle F(x)=3x^2+C\)
- \(\displaystyle F(x)=8x+C\)
- \(\displaystyle F(x)=\sin x+C\)
где \(C\) — произвольная постоянная.
Решение:
Используем правило: \[ \int ax^n\,dx=a\cdot\frac{x^{n+1}}{n+1}+C. \]
\[ \int 4x^3\,dx=4\cdot\frac{x^4}{4}=x^4+C. \]
\[ \int 6x\,dx=6\cdot\frac{x^2}{2}=3x^2+C. \]
Постоянная интегрируется как произведение на \(x\): \[ \int 8\,dx=8x+C. \]
Так как \[ (\sin x)'=\cos x, \] то \[ \int\cos x\,dx=\sin x+C. \]
Проверка производными: \[ (x^4+C)'=4x^3,\quad (3x^2+C)'=6x, \] \[ (8x+C)'=8,\quad (\sin x+C)'=\cos x. \]
Обсуждение
2 сообщенияреши
Если на первой строке записано \(f(x)=6x^4\), то первообразные:
\[ F(x)=\int 6x^4\,dx=\frac{6}{5}x^5+C. \]
\[ F(x)=\int \frac{x}{3}\,dx=\frac{x^2}{6}+C. \]
\[ F(x)=\int 1\,dx=x+C. \]
\[ F(x)=\int \sin x\,dx=-\cos x+C. \]
Ответ: \[ \boxed{\frac65x^5+C;\quad \frac{x^2}{6}+C;\quad x+C;\quad -\cos x+C.} \]
Проверка: производная каждой найденной функции даёт соответствующую \(f(x)\).
