Реши номер 12.17 под буквой г
Краткий ответ:
точка \((0;\,-1)\), а все соответствующие ей числа:
\[ t=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z. \]
Решение:
На числовой окружности координаты точки имеют вид
\[ (\cos t;\sin t). \]
По условию
\[ y=\sin t=-1. \]
Значение \(-1\) синус принимает только в нижней точке окружности:
\[ (0;\,-1). \]
Один из углов этой точки — \(-\frac{\pi}{2}\). Учитывая период синуса \(2\pi\), получаем:
\[ \boxed{t=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z}. \]
Проверка:
\[ \sin\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi k\right)=-1. \]
Обсуждение
6 сообщенийОбъяснить, как решать пункт 12.17в?
Объяснить, как решать пункт 12.17в?
12.17, в)
Дано:
\[ y=-\frac{\sqrt2}{2}. \]
На единичной окружности:
\[ x=\cos t,\qquad y=\sin t. \]
Значит, нужно найти все углы \(t\), для которых
\[ \sin t=-\frac{\sqrt2}{2}. \]
Опорный угол равен \(\frac{\pi}{4}\). Синус отрицателен в III и IV четвертях:
\[ t=\frac{5\pi}{4} \quad\text{или}\quad t=\frac{7\pi}{4}. \]
Соответствующие точки:
\[ \left(-\frac{\sqrt2}{2};-\frac{\sqrt2}{2}\right), \qquad \left(\frac{\sqrt2}{2};-\frac{\sqrt2}{2}\right). \]
Все соответствующие числа:
\[ \boxed{t=\frac{5\pi}{4}+2\pi k \quad\text{или}\quad t=\frac{7\pi}{4}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.} \]
Эквивалентная запись:
\[ t=-\frac{3\pi}{4}+2\pi k \quad\text{или}\quad t=-\frac{\pi}{4}+2\pi k. \]
В пункте 12.17в дано:
\[ y=-\frac{\sqrt2}{2}. \]
На числовой окружности координаты точки имеют вид
\[ (\cos t;\sin t), \]
поэтому нужно найти все углы, для которых
\[ \sin t=-\frac{\sqrt2}{2}. \]
Значение \(\frac{\sqrt2}{2}\) соответствует углу \(\frac{\pi}{4}\). Синус отрицателен в III и IV четвертях, поэтому получаем точки:
\[ \left(-\frac{\sqrt2}{2};-\frac{\sqrt2}{2}\right) \quad\text{и}\quad \left(\frac{\sqrt2}{2};-\frac{\sqrt2}{2}\right). \]
Соответствующие углы:
\[ t=\frac{5\pi}{4}+2\pi k \quad\text{или}\quad t=\frac{7\pi}{4}+2\pi k, \qquad k\in\mathbb Z. \]
Ответ:
\[ \boxed{t=\frac{5\pi}{4}+2\pi k\quad\text{или}\quad t=\frac{7\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.} \]
Объяснить, как решать пункт 12.18б
12.18б
Условия:
\[ x=\frac{\sqrt2}{2},\qquad y>0. \]
На числовой окружности координаты точки имеют вид:
\[ (x;y)=(\cos t;\sin t). \]
Координата
\[ x=\frac{\sqrt2}{2} \]
встречается в I и IV четвертях. Но условие \(y>0\) означает, что точка находится выше оси \(Ox\), то есть в I четверти.
Получаем точку:
\[ \boxed{\left(\frac{\sqrt2}{2};\frac{\sqrt2}{2}\right)}. \]
Ей соответствует угол
\[ t=\frac{\pi}{4}. \]
С учётом полного оборота \(2\pi\):
\[ \boxed{t=\frac{\pi}{4}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.} \]
