Решить 738 задание

Ответ:

1. \[ x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi k;\ \frac{\pi}{4}+\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z. \]

2. \[ x\in\left[\frac{\pi}{3}+\pi k;\ \frac{\pi}{2}+\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z. \]

3. \[ x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi k;\ -\frac{\pi}{6}+\pi k\right],\quad k\in\mathbb Z. \]

4. \[ x\in\left(-\frac{\pi}{4}+\pi k;\ \frac{\pi}{2}+\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z. \]

Как решать

Тангенс имеет период \(\pi\) и возрастает на каждом промежутке

\[ \left(-\frac{\pi}{2}+\pi k;\ \frac{\pi}{2}+\pi k\right). \]

Находим основные углы:

\[ \arctg 1=\frac{\pi}{4},\qquad \arctg\sqrt3=\frac{\pi}{3}, \]

\[ \arctg\left(-\frac{\sqrt3}{3}\right)=-\frac{\pi}{6},\qquad \arctg(-1)=-\frac{\pi}{4}. \]

Например, в пункте 1:

\[ \tg x<1=\tg\frac{\pi}{4}. \]

Так как тангенс возрастает, получаем

\[ -\frac{\pi}{2}+\pi k<x<\frac{\pi}{4}+\pi k. \]

Точка \(\frac{\pi}{4}+\pi k\) не включается, потому что неравенство строгое. Аналогично решаются остальные пункты: при знаках \(\leq,\geq\) граничная точка включается, а точки \(\frac{\pi}{2}+\pi k\) никогда не включаются — там тангенс не определён.