функции графики 9 класс

Тема «Функции и их графики»

1. Что такое функция

Функция — это зависимость одной величины от другой:

\[ y=f(x) \]

• \(x\) — независимая переменная, или аргумент;
• \(y\) — значение функции;
• каждому допустимому значению \(x\) соответствует только одно значение \(y\).

Например:

\[ y=2x-1 \]

Если \(x=3\), то

\[ y=2\cdot3-1=5. \]

Значит, точка \((3;5)\) принадлежит графику этой функции.

---

2. Что такое график функции

График функции — это множество всех точек \((x;y)\), для которых выполняется формула \(y=f(x)\).

Чтобы построить график:

1. Выбрать несколько значений \(x\).
2. Вычислить соответствующие значения \(y\).
3. Записать их в таблицу.
4. Отметить точки на координатной плоскости.
5. Соединить точки подходящей линией.

Пример

Построим график функции:

\[ y=2x-1. \]

\(x\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)
\(y=2x-1\)	\(-3\)	\(-1\)	\(1\)	\(3\)

Полученные точки:

\[ (-1;-3),\quad (0;-1),\quad (1;1),\quad (2;3). \]

График — прямая. Для построения прямой достаточно найти любые две точки.

---

3. Основные характеристики графика

Нули функции

Нули функции — это значения \(x\), при которых

\[ f(x)=0. \]

На графике это точки пересечения с осью \(Ox\).

Например:

\[ y=x-4. \]

Найдём нуль:

\[ x-4=0,\qquad x=4. \]

График пересекает ось \(Ox\) в точке \((4;0)\).

Пересечение с осью \(Oy\)

Чтобы найти точку пересечения с осью \(Oy\), нужно подставить:

\[ x=0. \]

Для функции \(y=2x-1\):

\[ y=2\cdot0-1=-1. \]

Точка пересечения — \((0;-1)\).

Возрастание и убывание

• график идёт слева направо вверх — функция возрастает;
• график идёт слева направо вниз — функция убывает.

---

4. Основные виды функций

Линейная функция

\[ y=kx+b \]

Её график — прямая.

• \(k>0\) — функция возрастает;
• \(k<0\) — функция убывает;
• \(b\) — координата пересечения с осью \(Oy\).

---

Квадратичная функция

\[ y=ax^2+bx+c,\qquad a\ne0. \]

Её график — парабола.

Простейший пример:

\[ y=x^2. \]

Таблица:

\(x\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)
\(y=x^2\)	\(4\)	\(1\)	\(0\)	\(1\)	\(4\)

Вершина параболы находится в точке \((0;0)\).

• если \(a>0\), ветви направлены вверх;
• если \(a<0\), ветви направлены вниз.

Например, у функции

\[ y=x^2-4 \]

вершина находится в точке \((0;-4)\), а нули:

\[ x^2-4=0, \]

\[ x=\pm2. \]

---

Обратная пропорциональность

\[ y=\frac{k}{x},\qquad x\ne0. \]

Её график — гипербола.

Например:

\[ y=\frac{1}{x}. \]

График не пересекает оси координат, потому что \(x\ne0\), а значение \(y\) никогда не равно нулю.

---

5. Как сдвигаются графики

Если известен график \(y=f(x)\), то:

\[ y=f(x)+a \]

— сдвиг вверх на \(a\);

\[ y=f(x)-a \]

— сдвиг вниз на \(a\);

\[ y=f(x-a) \]

— сдвиг вправо на \(a\);

\[ y=f(x+a) \]

— сдвиг влево на \(a\);

\[ y=-f(x) \]

— отражение относительно оси \(Ox\).

Например:

\[ y=(x-2)^2+3 \]

получается из \(y=x^2\): параболу сдвинули на 2 вправо и на 3 вверх. Её вершина:

\[ (2;3). \]

---

Главное правило

Чтобы разобраться с графиком, ищи:

1. вид функции;
2. допустимые значения \(x\);
3. нули функции;
4. пересечение с осью \(Oy\);
5. направление возрастания или ветвей;
6. несколько точек для построения.

Давай подробно разберём самый первый пример:

\[ y=2x-1. \]

Это означает: вместо \(x\) подставляем число, умножаем его на 2 и вычитаем 1.

1. Выбираем значения \(x\)

Можно выбрать любые числа. Возьмём:

\[ x=-1,\quad 0,\quad 1,\quad 2. \]

2. Вычисляем \(y\)

Если \(x=-1\):

\[ y=2\cdot(-1)-1=-2-1=-3. \]

Получили точку:

\[ (-1;-3). \]

Если \(x=0\):

\[ y=2\cdot0-1=0-1=-1. \]

Точка:

\[ (0;-1). \]

Если \(x=1\):

\[ y=2\cdot1-1=2-1=1. \]

Точка:

\[ (1;1). \]

Если \(x=2\):

\[ y=2\cdot2-1=4-1=3. \]

Точка:

\[ (2;3). \]

Получается таблица:

\(x\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)
\(y\)	\(-3\)	\(-1\)	\(1\)	\(3\)

3. Строим график

Каждая пара чисел — это точка:

\[ (-1;-3),\ (0;-1),\ (1;1),\ (2;3). \]

В записи \((x;y)\) первое число откладывают по горизонтальной оси \(Ox\), второе — по вертикальной оси \(Oy\). Затем точки соединяют прямой.

Почему получилась прямая? Потому что функция имеет вид

\[ y=kx+b, \]

а график такой функции всегда является прямой.

Например, точка \((1;1)\) означает: при \(x=1\) значение функции равно \(y=1\).

Я — ИИ-помощник ГДЗ от Новой Школы. Могу помочь со школьным заданием.

Я — ИИ-помощник ГДЗ от Новой Школы. Могу помочь со школьным заданием.