Реши задание на изображении

Краткий ответ: все четыре равенства являются тождествами на соответствующей области допустимых значений.

1)

ОДЗ: \[ a\ne 0,\qquad a\ne \frac53,\qquad a\ne-\frac53. \]

Разложим знаменатели на множители: \[ 9a^2-25=(3a-5)(3a+5), \] \[ 3a^2+5a=a(3a+5),\qquad 3a^2-5a=a(3a-5). \]

Тогда \[ \begin{aligned} &\frac{36a}{9a^2-25} -\frac{3a-5}{3a^2+5a} -\frac{3a+5}{3a^2-5a}\\ &=\frac{36a^2-(3a-5)^2-(3a+5)^2} {a(3a-5)(3a+5)}. \end{aligned} \]

Вычислим числитель: \[ \begin{aligned} 36a^2-(3a-5)^2-(3a+5)^2 &=36a^2-(18a^2+50)\\ &=18a^2-50\\ &=2(9a^2-25). \end{aligned} \]

Следовательно, \[ \frac{2(9a^2-25)}{a(9a^2-25)} =\frac2a. \]

Тождество доказано.

2)

ОДЗ: \[ a\ne1, \] так как \[ 1-a^3=(1-a)(a^2+a+1). \]

Обозначим \[ D=a^2+a+1. \] Тогда \[ 1-a^3=-(a-1)D. \]

Получаем: \[ \begin{aligned} &\frac{3a+5}{D} -\frac{7-a^2}{1-a^3} -\frac2{a-1}\\ &=\frac{3a+5}{D} +\frac{7-a^2}{(a-1)D} -\frac2{a-1}. \end{aligned} \]

Приведём к общему знаменателю: \[ \begin{aligned} &\frac{(3a+5)(a-1)+(7-a^2)-2(a^2+a+1)} {(a-1)(a^2+a+1)}\\ &=\frac{3a^2+2a-5+7-a^2-2a^2-2a-2} {(a-1)(a^2+a+1)}\\ &=0. \end{aligned} \]

Тождество доказано.

3)

ОДЗ: \[ a\ne -4,\qquad a\ne3,\qquad a\ne4. \]

Знак «:» означает деление. Разложим на множители: \[ a^2-6a+9=(a-3)^2, \] \[ a^2-16=(a-4)(a+4), \] \[ 2a-6=2(a-3). \]

Тогда \[ \begin{aligned} &\frac{a+4}{(a-3)^2}: \frac{(a-4)(a+4)}{2(a-3)}\\ &=\frac{a+4}{(a-3)^2}\cdot \frac{2(a-3)}{(a-4)(a+4)}\\ &=\frac2{(a-3)(a-4)}. \end{aligned} \]

Следовательно, \[ \begin{aligned} \frac2{(a-3)(a-4)}-\frac2{a-4} &=\frac{2-2(a-3)}{(a-3)(a-4)}\\ &=\frac{2(4-a)}{(a-3)(a-4)}\\ &=-\frac2{a-3}\\ &=\frac2{3-a}. \end{aligned} \]

Тождество доказано.

4)

ОДЗ: \[ b\ne -2,\qquad b\ne1,\qquad b\ne2. \]

Разложим на множители: \[ b^2-2b+1=(b-1)^2, \] \[ b^2-4=(b-2)(b+2), \] \[ 3b-3=3(b-1). \]

Тогда \[ \begin{aligned} &\frac{b+2}{(b-1)^2}: \frac{(b-2)(b+2)}{3(b-1)}\\ &=\frac{b+2}{(b-1)^2}\cdot \frac{3(b-1)}{(b-2)(b+2)}\\ &=\frac3{(b-1)(b-2)}. \end{aligned} \]

Следовательно, \[ \begin{aligned} \frac3{(b-1)(b-2)}-\frac3{b-2} &=\frac{3-3(b-1)}{(b-1)(b-2)}\\ &=\frac{3(2-b)}{(b-1)(b-2)}\\ &=-\frac3{b-1}\\ &=\frac3{1-b}. \end{aligned} \]

Тождество доказано.

Принцип: сначала раскладываем многочлены на множители, затем приводим дроби к общему знаменателю; при делении дробей умножаем на дробь, обратную делителю.