Реши задание на изображении
Изучение дробей и множителей
Я внимательно рассматриваю видимое изображение, на котором представлены дроби. Для дроби с обозначением 14г в числителе указано 2? · 8?, что можно интерпретировать как 2^4 · 8^?. В знаменателе, по-видимому, указано 6^2 · 12^?. Думаю, что смогу восстановить предполагаемый результат. Похоже, это может быть частью серии учебных упражнений, в которых все задачи содержат дроби с сокращением на простые множители. Посмотрим, смогу ли я точно это восстановить!
Упрощение вычислений
Я рассматриваю несколько вычислений и пытаюсь избежать работы с огромными числами. Для пункта а вижу, что \((13·2)^6 / 26^5\) хорошо упрощается до 26. В пункте б \((7·9)^{11}/63^5\) даёт \(63^6\), что может оказаться слишком большим числом для непосредственного вычисления. В пункте в выражение \(6^8/6^4\) упрощается до \(6^4\). Для пункта г я рассматриваю \(12^{8}/(3^{8}·4^{4})\), и это упрощается до 256. Итак, мои результаты: а = 26, б = возможно, не вычислено, в = 1296, г = 256.
Организация заданий на изображении
Я могу начать с кратких ответов, поскольку предстоит разобрать несколько заданий. Например, я мог бы обобщить задания с 12 по 18 и привести их решения. В частности, я хочу сосредоточиться на 12а-в, 13а-в и 14а-в. Если текст в 14в неясен, я могу указать на это, но предпочёл бы не гадать. Мне нужно будет внимательно проанализировать изображение, чтобы определить детали для 12г, 13г и 14г. Здесь решающее значение будет иметь обработка изображения!
Анализ плохо различимого текста
Изображение полностью простирается до правого края, но текст справа плохо различим, вероятно, из-за проблем с фокусировкой. Кажется, я могу мысленно увеличить его, но чёткости всё равно не хватает. В задании 13 в числителе, по-видимому, указано 12^?, а в знаменателе — 3^? · 4^?, хотя это неясно. В задании 14 я предполагаю, что полный числитель — 2^4 · 8^3, а знаменатель — 6^2 · 12^3. Я могу попробовать восстановить это по известным ответам к упражнениям!
Объяснение правил работы со степенями
Я думаю о том, как кратко ответить на запрос пользователя: сначала дать короткий ответ, а затем изложить основные шаги. Имеет смысл объяснить всё просто, сосредоточившись на правилах действий со степенями при одинаковых основаниях, например \((a^m)^n = a^{mn}\) и других. Я приведу несколько примеров, например покажу, как отрицательные показатели меняют знаки, и уточню область определения: \(x \ne 0\). Постараемся сделать объяснение понятным!
На фото несколько заданий (12–18). Пункты 12г, 13г и 14г справа обрезаны, поэтому их нельзя надёжно прочитать. Ниже — решения всех различимых пунктов.
Краткие ответы
12.
а) \(\dfrac1{x^4}\); б) \(1\); в) \(x^{18}\), \(x\ne0\).
13.
а) \(26\); б) \(63^6=62\,523\,502\,209\); в) \(1296\).
14.
а) \(\dfrac1{16}\); б) \(\dfrac7{45}\); в) \(\dfrac1{10}\).
15.
а) \(14a-b\); б) \(x+5y\); в) \(4b-5\); г) \(-4y\).
16.
а) \(2a^2-3a\); б) \(5a^2-18ab-2b^2\);
в) \(x-3x^2\); г) \(3x^3-x^2\).
17.
а) \(x^2+x-20\); б) \(2x^2+x-3\);
в) \(-x^2-2x+8\); г) \(3x^2-5x+2\).
18. Тождествами являются б) и в).
Ключевые шаги
Используем правила:
\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},\qquad (a^m)^n=a^{mn}. \]
12
\[ \text{а)}\quad \frac{(x^3)^2}{x^2\cdot x^8} =\frac{x^6}{x^{10}} =x^{-4} =\frac1{x^4}. \]
\[ \text{б)}\quad \frac{(x^4)^2\cdot x^3}{x^5\cdot (x^3)^2} =\frac{x^8\cdot x^3}{x^5\cdot x^6} =\frac{x^{11}}{x^{11}}=1. \]
\[ \text{в)}\quad \frac{(x^8)^3}{x^2\cdot x^4} =\frac{x^{24}}{x^6} =x^{18}. \]
13
\[ \text{а)}\quad \frac{13^6\cdot2^6}{26^5} =\frac{(13\cdot2)^6}{26^5} =\frac{26^6}{26^5}=26. \]
\[ \text{б)}\quad \frac{7^{11}\cdot9^{11}}{63^5} =\frac{(7\cdot9)^{11}}{63^5} =\frac{63^{11}}{63^5} =63^6. \]
\[ \text{в)}\quad \frac{2^8\cdot3^8}{6^4} =\frac{(2\cdot3)^8}{6^4} =\frac{6^8}{6^4} =6^4=1296. \]
14
\[ \text{а)}\quad \frac{25^3\cdot14^2}{49\cdot10^6} = \frac{5^6\cdot2^2\cdot7^2} {7^2\cdot2^6\cdot5^6} =\frac1{2^4} =\frac1{16}. \]
\[ \text{б)}\quad \frac{12^2\cdot35^3}{28^2\cdot15^4} = \frac{2^4\cdot3^2\cdot5^3\cdot7^3} {2^4\cdot7^2\cdot3^4\cdot5^4} =\frac7{3^2\cdot5} =\frac7{45}. \]
\[ \text{в)}\quad \frac{36^3\cdot15^2}{18^4\cdot10^3} = \frac{2^6\cdot3^6\cdot3^2\cdot5^2} {2^4\cdot3^8\cdot2^3\cdot5^3} =\frac1{2\cdot5} =\frac1{10}. \]
15–17
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:
\[ 12a-(b-2a)=12a-b+2a=14a-b; \]
\[ (2x+3y)-(x-2y)=2x+3y-x+2y=x+5y; \]
\[ 5b+(-b-5)=5b-b-5=4b-5; \]
\[ (3x-5y)+(-3x+y)=-4y. \]
\[ 3a+2a(a-3)=3a+2a^2-6a=2a^2-3a; \]
\[ 5a(a-2b)-2b(4a+b) =5a^2-10ab-8ab-2b^2 =5a^2-18ab-2b^2; \]
\[ 4x-3x(x+1)=4x-3x^2-3x=x-3x^2; \]
\[ 2x^2(x+1)+x^2(x-3) =2x^3+2x^2+x^3-3x^2 =3x^3-x^2. \]
\[ (x-4)(x+5)=x^2+x-20; \]
\[ (x-1)(2x+3)=2x^2+x-3; \]
\[ (x+4)(-x+2)=-x^2-2x+8; \]
\[ (3x-2)(x-1)=3x^2-5x+2. \]
18
Используем:
\[ 3-a=-(a-3),\qquad 7-a=-(a-7),\qquad -7-a=-(a+7). \]
б)
\[ (3-a)(7-a) =[-(a-3)][-(a-7)] =(a-3)(a-7). \]
в)
\[ (3-a)(-7-a) =[-(a-3)][-(a+7)] =(a-3)(a+7). \]
Значит, верные тождества — б) и в).
