1013, 1014, 1015! номера
Анализ тригонометрического контекста
Мне нужно посмотреть на предшествующий контекст, вероятно, сосредоточившись на тригонометрических соотношениях и зависимостях. Вопрос просит найти sin alpha, если значения cos заданы, но без указания четверти угла sin может быть как положительным, так и отрицательным. Возможно, предполагается, что угол α острый? Мне следует изучить контекст упражнения и проверить, связано ли оно с темой «Значения тригонометрических функций». Также я учту соглашение в учебнике относительно углов!
Анализ тригонометрических значений
Я рассматриваю значения синуса и косинуса для углов из определённого диапазона. При sin(α)=1/4 косинус может быть равен ±√15/4. Когда sin(α)=0, косинус будет равен ±1, что означает: для любого угла, при котором sin(α)=0, косинус должен принимать одно из этих значений. Если угол α находится между 0° и 180°, я обдумываю, как применяются правила знаков, особенно поскольку в предыдущем примере упоминался отрицательный косинус, что может указывать на тупой угол. Давайте уточним эти соглашения!
Анализ углов и тригонометрических значений
Я анализирую интервал [0, 180], чтобы определить, где синус и косинус положительны или отрицательны. В первой четверти (0-90) синус положителен, и косинус также положителен. Во второй четверти (90-180) синус остаётся положительным, но косинус становится отрицательным. Для некоторых значений, например 1014, мне нужно решить, равен ли косинус ±1 с учётом ограничений на угол. Я выведу значения синуса и косинуса из ранее полученных уравнений и систематически рассмотрю возможные значения.
Уточнение тригонометрических тождеств
Мне нужно быть точным: Для 1013 косинус положителен, поэтому возможен произвольный угол, который может находиться либо в первой, либо в четвёртой четверти, а значит, синус равен ±√3/2. Для 1015 косинус отрицателен, а синус равен ±√5/3. Я проверяю, что тангенс равен ±√3/3, что, по-видимому, верно для произвольного α, поскольку синус даёт ±1/2. Следует соблюдать осторожность относительно диапазонов углов, если они явно не указаны в контексте.
Уточнение контекста ответов
Я вижу, что пользователь просит решить задачу, связанную с полуокружностью, но некоторые данные могут отсутствовать. Правило подсказывает, что не следует угадывать, поэтому нужно указать, чего не хватает, и задать уточняющий вопрос. Однако контекст на изображении может быть достаточно понятным. Похоже, что запросить уточнение необязательно. Я могу указать допущения и дать содержательный ответ.
Уточнение структуры ответа
Правило подсказывает, что следует задать короткий уточняющий вопрос, если что-то кажется неполным, но, похоже, здесь достаточно контекста. Вероятно, спрашивать не нужно. Мне нужно включить ровно одну строку для следующего шага, которая должна быть содержательной. Это может быть объяснение знака ± в 1014. Я должен начать сразу с краткого ответа на русском языке, привести основные правила и вычисления и ясно объяснить вопрос с диапазоном.
Анализ тригонометрических функций
В пункте 1015 отрицательный косинус указывает на вторую четверть. В 1014 синус равен 0 в конечных точках, а косинус принимает значения ±1. Возможно, стоит включить тангенс, поскольку именно он является предметом задания. В Markdown я могу записать его как \(\tan \alpha\), но обозначить \(\tg \alpha\), поскольку в русской математической терминологии обычно используется \(\tg \alpha\). Я также хочу проверить, что в 1013 результат действительно равен \(\sqrt{5}/3\), а не записан с ошибкой.
Краткий ответ
Здесь используется \(0^\circ\le \alpha\le180^\circ\), поэтому \(\sin\alpha\ge0\).
- 1013: а) \(\dfrac{\sqrt3}{2}\); б) \(\dfrac{\sqrt5}{3}\); в) \(0\).
- 1014: а) \(\pm\dfrac12\); б) \(\pm\dfrac{\sqrt{15}}4\); в) \(\pm1\).
- 1015: а) \(0\); б) \(-\dfrac{\sqrt3}{3}\); в) \(1\); г) \(-\dfrac34\).
Основной принцип
Используем формулы:
\[ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1, \qquad \tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}. \]
1013. Найдите \(\sin\alpha\)
\[ \sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}. \]
а)
\[ \sin\alpha=\sqrt{1-\left(\frac12\right)^2} =\sqrt{\frac34}=\frac{\sqrt3}{2}. \]
б)
\[ \sin\alpha=\sqrt{1-\left(-\frac23\right)^2} =\sqrt{\frac59}=\frac{\sqrt5}{3}. \]
в)
\[ \sin\alpha=\sqrt{1-(-1)^2}=0. \]
1014. Найдите \(\cos\alpha\)
\[ \cos\alpha=\pm\sqrt{1-\sin^2\alpha}. \]
Знак \(\pm\) сохраняем, так как угол может быть острым или тупым.
а)
\[ \cos\alpha=\pm\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2} =\pm\frac12. \]
б)
\[ \cos\alpha=\pm\sqrt{1-\left(\frac14\right)^2} =\pm\sqrt{\frac{15}{16}} =\pm\frac{\sqrt{15}}4. \]
в)
\[ \cos\alpha=\pm\sqrt{1-0^2}=\pm1. \]
1015. Найдите \(\tg\alpha\)
а)
\[ \sin\alpha=\sqrt{1-1^2}=0, \qquad \tg\alpha=\frac01=0. \]
б) Так как \(\cos\alpha<0\), угол тупой, поэтому \(\sin\alpha=\frac12\):
\[ \tg\alpha= \frac{\frac12}{-\frac{\sqrt3}{2}} =-\frac1{\sqrt3} =-\frac{\sqrt3}{3}. \]
в) Угол острый, значит \(\cos\alpha>0\):
\[ \cos\alpha=\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2} =\frac{\sqrt2}{2}, \]
\[ \tg\alpha= \frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=1. \]
г) Угол тупой, значит \(\cos\alpha<0\):
\[ \cos\alpha=-\sqrt{1-\left(\frac35\right)^2} =-\frac45, \]
\[ \tg\alpha= \frac{\frac35}{-\frac45} =-\frac34. \]
Проверка: во всех случаях выполняется \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\).
